WikiSort.ru - Не сортированное

Вне́шность в общей топологии — это внутренность дополнения.^{[источник не указан 2545 дней]}

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологическое пространство, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на нём топология. Пусть дано подмножество ${\displaystyle A\subset X.}$ Точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ называется вне́шней то́чкой мно́жества ${\displaystyle A,}$ если существует её окрестность ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}}$ такая, что

${\displaystyle U\cap A=\emptyset .}$

Совокупность всех внешних точек множества называется внешностью и обозначается ${\displaystyle A^{\mathrm {e} }.}$

Свойства

• Все основные свойства внешности следуют из свойств внутренности и тождества:

${\displaystyle A^{\mathrm {e} }=\left(A^{\complement }\right)^{0};}$

• ${\displaystyle X=A^{0}\cup \partial A\cup A^{\mathrm {e} }.}$

Пример

Пусть дана вещественная прямая с определённой на ней стандартной топологией. Тогда

• ${\displaystyle (a,b)^{\mathrm {e} }=(-\infty ,a)\cup (b,\infty ).}$

См. также

• Внутренность
• Граница множества