WikiSort.ru - Не сортированное

Определение скейлинг-функции

Пусть ${\displaystyle \varphi (t)}$ представляет собой функцию из в ${\displaystyle L_{2}}$ , такую что множество её трансляций

${\displaystyle \{{\varphi }_{0,\;k}(t){\bigr |}\varphi _{0,\;k}(t)=\varphi (t-k)\},}$ (${\displaystyle k\in \mathrm {Z} }$  — параметр масштабирующий частоту вейвлета)

образует ортогональный базис в ${\displaystyle L_{2}(R)}$ .

Введем ${\displaystyle {\varphi }_{j,\;k}(t)}$ согласно:

${\displaystyle {\varphi }_{j,\;k}(t)=2^{j/2}\varphi (2^{j}t-k)j,k\in \mathrm {Z} .}$

Пусть ${\displaystyle \{{\varphi }_{0,\;k}(t)\}}$  — ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V_{0}}$ . Тогда для любой функции ${\displaystyle f(t)\in {\mbox{V}}_{\mathrm {0} }}$ :

${\displaystyle f(t)=\sum _{k}C_{k}\varphi (t-k).}$

Далее, пусть ${\displaystyle \{{\varphi }_{j,\;k}(t)\}}$  — ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V_{j}}$ , ${\displaystyle j\in \mathrm {Z} }$ . Тогда мы получаем последовательность пространств ${\displaystyle \{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}}$ , таких что

${\displaystyle V_{j}\subset V_{j+1}}$ .

Определение. Пусть ${\displaystyle {\varphi }_{0,\;k}(t)}$  — ортонормированный базис в ${\displaystyle V_{0}}$ , тогда разложение функции ${\displaystyle f(t)\in L_{2}}$ по базисам пространств ${\displaystyle \{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}}$ называется многомасштабным анализом в ${\displaystyle L_{2}}$ .

Определение. Если ${\displaystyle \{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в ${\displaystyle L_{2}}$ , функция ${\displaystyle \varphi (t)}$ порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции

Пусть последовательность пространств ${\displaystyle \{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в ${\displaystyle L_{2}}$ . Определим пространство ${\displaystyle W_{j}}$ как дополнение пространства ${\displaystyle V_{j}}$ до пространства ${\displaystyle V_{j+1}}$ , то есть ${\displaystyle W_{j}=V_{j+1}\backslash V_{j}}$ . Тогда

${\displaystyle V_{j}=V_{0}\oplus \bigoplus _{k=0}^{j}W_{k}}$ ,

или же:

${\displaystyle {L}_{2}=V_{0}\oplus \bigoplus _{j=0}^{\infty }W_{j}}$ . ${\displaystyle (1)}$

Построим материнскую вейвлет-функцию ${\displaystyle \psi (t)\in {L}_{2}}$ ортогональную скейлинг-функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ . В результате получим набор функций ${\displaystyle \{{\psi }_{j,\;k}(t){\bigr |}j,k\in \mathrm {Z} \}}$  — базис в пространстве ${\displaystyle W_{j}}$ .

Вейвлет-разложение

Таким образом, согласно (1) и определению функций ${\displaystyle {\psi }_{j,\;k}(t)}$ и ${\displaystyle {\varphi }_{j,\;k}(t))}$ как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция ${\displaystyle f(t)\in L_{2}}$ может быть разложена в сходящийся в ${\displaystyle L_{2}}$ ряд:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k}{\alpha }_{k}{\varphi }_{0,\;k}(t)+\sum _{j}\sum _{k}{\beta }_{j,\;k}{\psi }_{k,\;j}(t),}$

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

${\displaystyle {\alpha }_{k}=\int f(t){\varphi }_{0,\;k}^{\ast }(t)dt,}$

${\displaystyle {\beta }_{j,\;k}=\int f(t){\psi }_{j,\;k}^{\ast }(t)dt.}$

Коэффициенты ${\displaystyle {\alpha }_{k}}$ дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты ${\displaystyle {\beta }_{j,\;k}}$ содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств ${\displaystyle W_{j}}$ используемых для анализа.

Функция ${\displaystyle m_{0}(\omega )}$

Утверждение. Пространства ${\displaystyle V_{j}}$ являются вложенными ${\displaystyle V_{j}\subset V_{j+1}}$ , ${\displaystyle j\in \mathrm {Z} }$ при условии, что существует ${\displaystyle 2\pi }$  — периодическая функция ${\displaystyle m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )}$ такая, что

${\displaystyle {\hat {\varphi }}(\omega )=m_{0}\left({\frac {\omega }{2}}\right){\hat {\varphi }}\left({\frac {\omega }{2}}\right)}$ , ${\displaystyle (2)}$

где ${\displaystyle {\hat {\varphi }}(\omega )}$ — Фурье-образ функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ (доказательство см. 2).

Лемма 0.Система функций ${\displaystyle \{{\varphi }_{0,\;k}{\bigr |}k\in \mathrm {Z} \}}$ является ортонормированной в ${\displaystyle L_{2}}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{k}{\bigr |}{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi k){\bigr |}^{2}=1}$ . (3)

Лемма 1. Положим, что ${\displaystyle \{{\varphi }_{0,\;k}{\bigr |}k\in \mathrm {Z} \}}$ представляет собой ортонормированный базис в ${\displaystyle L_{2}}$ . Тогда для любой ${\displaystyle 2\pi }$ -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:

${\displaystyle {\bigr |}{m}_{0}(\omega ){\bigr |}^{2}+{\bigr |}{m}_{0}(\omega +\pi ){\bigr |}^{2}=1}$ . (4)

Лемма 2.В том случае, если ${\displaystyle \varphi (t)}$ представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как ${\displaystyle m_{0}(\omega )}$  — ${\displaystyle 2\pi }$ -периодическую функцию из ${\displaystyle L_{2}(0,2\pi )}$ , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\omega )=m_{1}\left({\frac {\omega }{2}}\right){\hat {\varphi }}\left({\frac {\omega }{2}}\right)}$ , ${\displaystyle (5)}$

где

${\displaystyle m_{1}(\omega )=m_{0}^{*}(\omega +\pi )\exp(-jw)}$  — вейвлет-функция. (6)

Таким образом, скейлинг-функция ${\displaystyle \varphi (t)}$ и материнская вейвлет-функция ${\displaystyle \psi (t)}$ определяются ${\displaystyle 2\pi }$ -периодической функцией ${\displaystyle m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )}$ согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие

${\displaystyle m_{0}(0)=0}$ .