Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения , определяемый некоторой заданной связностью на . В частности, линейный изоморфизм касательных пространств и , определяемый вдоль кривой некоторой заданной на аффинной связностью.
Пусть на гладком многообразии задана аффинная связность. Говорят, что вектор получен параллельным перенесением из вектора вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой , если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле со следующими свойствами:
Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:
и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора , в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле было определено в целой окрестности пути , достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.
Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.
На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.
Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в с помощью введенного им понятия развертывания кривой на плоскость . Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай -мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .