WikiSort.ru - Не сортированное

Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.

Точнее: Пусть дано гладкое расслоение ${\displaystyle \pi :E\to B}$ , связность есть подрасслоение ${\displaystyle R}$ касательного расслоения ${\displaystyle TE}$ над ${\displaystyle E}$ , такое что для каждой точки ${\displaystyle x\in E}$ проекция

${\displaystyle d_{x}\pi (R_{x})=T_{\pi (x)}B}$

здесь ${\displaystyle d_{x}\pi }$ обозначает дифференциал ${\displaystyle \pi }$ в точке ${\displaystyle x}$ .

Связность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.

Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения. В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности. На физическом языке в терминах пространства-времени это говорит, что можно ввести локально лоренцеву систему отсчёта вдоль произвольной несамопересекающейся кривой, но невозможно в окрестности точки, если тензор кривизны этой окрестности отличен от нуля.

Название связность происходит от того, что посредством неё связываются касательные пространства в разных точках многообразия. Именно связность организовывает структуру касательного расслоения. Проще говоря, связность позволяет переносить геометрические объекты из одной точки многообразия в другую и необходима для сравнения объектов в разных точках многообразия.

Типы связностей

• Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.

• Связность Леви-Чивиты — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии ${\displaystyle M}$ , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011 года.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.