WikiSort.ru - Не сортированное

Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

${\displaystyle L\,y(x)\;=\;\sum _{k=1}^{M}{c_{k}\,y\,(ax-b_{k})},}$

где ${\displaystyle L\;}$  — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами;  коэффициенты ${\displaystyle a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R} ,}$ ,  причём  ${\displaystyle |a|\,>\,1}$ ^[1][2].

Атомарная функция up(x)

Простейшая атомарная функция ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$   (читается: «ап от ${\displaystyle x}$ »^[3])  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,y'(x)\;=\;y\,(2x+1)-y\,(2x-1)\;}$

с носителем ${\displaystyle \mathrm {supp} \;\mathrm {up} (x)=[-1,1],}$   которое удовлетворяет условию нормировки ${\displaystyle \mathrm {up} (0)=1}$   (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно)^[4].

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\mathrm {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\mathrm {sinc} {\frac {t}{2^{k}}},}$

где ${\displaystyle \mathrm {sinc} =\sin {x}/x\;}$ — sinc-функция.

Функция ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ — чётная, возрастает на отрезке ${\displaystyle [-1,\;0]}$ , убывает на интервале ${\displaystyle [0,\;1],}$ а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, ${\displaystyle \mathrm {up} (1-x)=1-\mathrm {up} (x)\;}$ при ${\displaystyle x\in \;[0,1]}$ . Таким образом, целочисленные сдвиги ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ образуют следующее разбиение единицы:

${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }{\mathrm {up} (x-j)}\equiv 1.}$

Значения ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ в двоично-рациональных точках вида ${\displaystyle 2^{-n}k\;}$ — рациональные числа. Функция ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, т. е. представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции h_a(x), совершенные сплайны

Атомарные функции ${\displaystyle \mathrm {h} _{a}(x)\;}$ (при ${\displaystyle a>1\;}$ ) являются обобщением функции ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ . Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид:

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).\;}$

Таким образом, ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;\equiv \;\mathrm {h} _{2}(x).}$ Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \mathrm {h} _{a}(x)\;}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\mathrm {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\mathrm {sinc} {\frac {t}{a^{n}}},}$

следовательно, функции ${\displaystyle \mathrm {h} _{a}(x)\;}$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов ${\displaystyle M\;}$ бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов ${\displaystyle \mathrm {h} _{a,M}(x)\;}$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}\mathrm {h} '_{a,M}(x)=\mathrm {h} _{a,M-1}(ax+1)-\mathrm {h} _{a,M-1}(ax-1).\;}$

Обобщённая теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций ${\displaystyle \mathrm {h} _{a}(x)\;}$ расположены регулярным образом в точках ${\displaystyle a\pi n\;}$ ${\displaystyle (n\neq 0)}$ . В связи с этим любую непрерывную функцию ${\displaystyle f(x)\;}$ с финитным спектром ${\displaystyle (\mathrm {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])}$ можно разложить в ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f(k\Delta ){\hat {\mathrm {h} _{a}}}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(x-k\Delta )\right]},}$

где ${\displaystyle a>2,\;0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)}$ ^[5].

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова^[5]; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым^[6], а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом^[7].

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе^[8] 1971 года. Обстоятельства появления функции ${\displaystyle \mathrm {up} (x)\;}$ связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции^[9].

Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение»^[10]. В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 г., приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.

В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы^{[11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21]}.

См. также

• Функция sinc(x)
• Окно (весовая функция)
• B-сплайн
• Теорема Котельникова

Примечания

Литература

• Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А.  Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка, 1979. — 196 с.
• Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др.  Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с.
• Тихомиров В. М.  Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. — 272 с. — С. 103—260.
• Кравченко В. Ф.  Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003. — 512 с. — ISBN 5-93108-019-8.