WikiSort.ru - Не сортированное

${\displaystyle W}$ -функция Ламберта определяется как обратная функция к ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$ , для комплексных ${\displaystyle w}$ . Обозначается ${\displaystyle W(x)}$ или ${\displaystyle \operatorname {LambertW} (x)}$ . Для любого комплексного ${\displaystyle z}$ она определяется функциональным уравнением:

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}$

${\displaystyle W}$ -функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»^[1].

Многозначность

Поскольку функция ${\displaystyle f(w)}$ не является инъективной на интервале ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ , ${\displaystyle W(z)}$ является многозначной функцией на ${\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)}$ . Если ограничиться вещественными ${\displaystyle z=x\geqslant -1/e}$ и потребовать ${\displaystyle w\geqslant -1}$ , будет определена однозначная функция ${\displaystyle W_{0}(x)}$ .

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.

${\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to \infty }=\log(z)-\log(\log(z))}$

${\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to -{\frac {1}{e}}}={\sqrt {2(ez+1)}}-1}$

Другие формулы

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}}$

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при ${\displaystyle z\neq -{\tfrac {1}{e}}}$ функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

${\displaystyle {dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.}$

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при ${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{e}}}$ :

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

${\displaystyle \int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.}$

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример: ${\displaystyle x^{x}=z}$

${\displaystyle \ln z=x\ln x=e^{\ln x}\,\ln x}$ , следовательно, ${\displaystyle x=e^{W(\ln z)}}$ .

Пример: ${\displaystyle 2^{x}=5x}$

${\displaystyle 1=5x\cdot 2^{-x}=5x\,e^{-x\ln 2}}$

Обозначим ${\displaystyle y=-x\ln 2}$ , тогда ${\displaystyle y\,e^{y}={-\ln 2 \over 5}}$ , отсюда ${\displaystyle y=W\left({-\ln 2 \over 5}\right)}$ и окончательно ${\displaystyle x=-{1 \over \ln 2}W\left({-\ln 2 \over 5}\right)}$ .

Обобщенные применения W-Функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$

где a₀, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}})}$ . Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции Ламберта:^[2][3][4]

• Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале “Classical and Quantum Gravity”^[5] была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)}$

и где константы r₁ и r₂, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а r_i и a_o являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию “Meijer G", оно принадлежит к другому типу функций. Когда r₁ = r₂, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.

• Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода^[6][7]. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)}$

где r_i и s_i константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики^[8].

Вычисление

${\displaystyle W}$ -функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения^[1]:

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}$

Пример программы на языке Python:

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in range(100):
        wTimesExpW = w*math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
        if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
            break
    if (prec <= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
        raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x)
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу^[9]: !!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10% отличается от функции Ламберта

${\displaystyle W(x)\approx \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{,}04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matrix}}\right.}$

Ссылки

1. 1 2 Corless; et al. (1996). “On the Lambert W function”. Adv. Computational Maths. 5: 329–359. Архивировано из оригинала 2005-01-18. Проверено 2006-09-11. Используется устаревший параметр |deadlink= (справка); Некорректное значение |dead-url=404 (справка)
2. ↑ T. C. Scott, R. B. Mann (2006). “General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing). 17 (1): 41—47. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.
3. ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). “Asymptotic series of Generalized Lambert W Function”. SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation). 47 (185): 75—83.
4. ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W.Z. Zhang (2014). “Numerics of the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM. 48 (1/2): 42—56.
5. ↑ P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott (2007). “N-body Gravity and the Schrödinger Equation”. Class. Quantum Grav. 24 (18): 4647—4659. DOI:10.1088/0264-9381/24/18/006.
6. ↑ T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). “New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion”. Chem. Phys. 324: 323—338. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.10.031.
7. ↑ Maignan, Aude; Scott, T. C. (2016). “Fleshing out the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM. 50 (2): 45—60. DOI:10.1145/2992274.2992275.
8. ↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). “The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions”. Phys. Rev. A. 75: 060101. DOI:10.1103/PhysRevA.75.060101.
9. ↑ Double precision function LAMBERTW(X) в пакете QCDINS