abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].
Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел; статус этой проблемы в настоящее время спорный.
Для любого существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел , и , таких, что , выполняется неравенство
где — радикал целого числа.
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].
Согласно гипотезе Била, если ( , , , , , — натуральные и ), то , , имеют общий делитель.
Докажем гипотезу Била для достаточно больших от противного. Предположим, существует бесконечное количество , для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:
Учтём, что . Поэтому:
Поскольку из условий теоремы очевидно, что и , то . Тогда:
Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на , получим ограничение сверху на величину :
причём, отношение должно быть конечным, поскольку, по условию , , — натуральные (то есть )
Таким образом, можно найти некоторое конечное значение , для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ошибочно. Для оставшегося конечного количества справедливость гипотезы Била можно доказать численно.
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.
В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[4][5].
Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[6]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[7]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[8].
Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[8][9] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).
В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка[10]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения[11].
На начало 2019 года доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .