WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов^[1].

Из abc-гипотезы (чей статус спорен) следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших^{[каких?]} z^[2], а из неё — доказательство Великой теоремы Ферма, поскольку гипотеза Била является обобщением великой теоремы Ферма, которая уже была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом, за что тот получил Абелевскую премию в 2016 году.

Формулировка

Если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ , где ${\displaystyle A,B,C,x,y,z\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle x,y,z>2}$ , то ${\displaystyle A,B,C}$ имеют общий простой делитель.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа ${\displaystyle n>2}$ и ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ такие, что ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$ . Тогда гипотеза Била для ${\displaystyle x=y=z=n}$ влечёт существование простого числа ${\displaystyle p}$ , делящего каждое из чисел ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ . Но тогда ${\displaystyle (A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}}$ , а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$ , можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья ${\displaystyle n}$ -я степень является суммой ${\displaystyle n}$ -х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента, что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ не существует, то есть великая теорема Ферма доказана.

Проверка

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000^[3].

24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.

Примечания

Ссылки

• The Beal Conjecture
• The Beal Conjecture and Prize
• R. Daniel Mauldin (1997). “A Generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem” (PDF). Notices of the AMS. 44 (11): 1436—1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath. (недоступная ссылка с 06-06-2013 [2055 дней])
• Beal@Home — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.

Для улучшения этой статьи желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).