WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Холла — нерешённая на 2015 г. теоретико-числовая гипотеза об оценке сверху для решений диофантова уравнения Морделла ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k}$ при заданном ${\displaystyle k\neq 0}$ . Имеет несколько формулировок разной силы. Была сформулирована Холлом в 1971 г.

Формулировка и уточнения

Первоначальная формулировка такова:

Существует константа ${\displaystyle C>0}$ , такая что если ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k}$ для ${\displaystyle x,y,k\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle k\neq 0}$ , то ${\displaystyle |x|\leqslant C|k|^{2}}$ .

Из конкретных решений разных уравнений для разных ${\displaystyle k}$ можно получать оценки снизу для ${\displaystyle C}$ . Наиболее сильный пример был найден Элкисом в 1998:

${\displaystyle 447884928428402042307918^{2}-5853886516781223^{3}=-1641843}$

Из него следует оценка ${\displaystyle C>2171}$ . Это делает гипотезу неправдоподобной в такой формулировке, хотя эта формулировка и не опровергнута.

Старк и Троттер в 1980 предположили ослабленный вариант гипотезы Холла:

Для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ существует константа ${\displaystyle C(\epsilon )>0}$ , такая что если ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k}$ для ${\displaystyle x,y,k\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle k\neq 0}$ , то ${\displaystyle |x|\leqslant C(\epsilon )|k|^{2+\epsilon }}$ .

Ввиду неправдоподобности первоначального варианта гипотеза Холла теперь гипотезой Холла называется её ослабленный вариант с ${\displaystyle \epsilon }$ .

Доказано, что показатель 2 в оценке нельзя уменьшить — гипотеза становится неверной для оценки вида ${\displaystyle |x|\leqslant C|k|^{2-\epsilon }}$ (Данилов, 1982).

Теорема Дэвенпорта — Аналог гипотезы Холла для многочленов

В 1965 Дэвенпорт доказал аналог гипотезы Холла для многочленов:

Если ${\displaystyle g(t)^{2}=f(t)^{3}+k(t)}$ , где ${\displaystyle k(t)\neq \mathrm {const} ,f(t),g(t)\neq 0}$ , то ${\displaystyle \deg f(t)\leqslant 2(\deg k(t)-1)}$ .

Эта теорема сразу следует из теоремы Мейсона — Стотерса^[en], аналога ABC-гипотезы для многочленов: Пусть ${\displaystyle a(t),b(t),c(t)}$  — попарно взаимно простые неконстантные многочлены, такие, что ${\displaystyle a+b=c}$ , тогда

${\displaystyle \max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.}$

Здесь ${\displaystyle \mathrm {rad} (f)}$  — радикал многочлена, то есть произведение его различных простых множителей.

Подстановка ${\displaystyle c=g^{2}}$ , ${\displaystyle a=f^{3}}$ , ${\displaystyle b=k}$ даёт 2 неравенства:

${\displaystyle 3\deg f,2\deg g\leqslant \deg f+\deg g+\deg k-1}$ ,

из которых и получается теорема.

Связь с ABC-гипотезой

Гипотеза Холла следует из ABC-гипотезы. Из ABC-гипотезы сразу следует даже более сильная, т. н. радикальная гипотеза Холла:

Для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ существует константа ${\displaystyle C(\epsilon )>0}$ , такая что если ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k}$ для ${\displaystyle x,y,k\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle k\neq 0}$ , ${\displaystyle {\text{НОД}}(x,y)=1}$ то ${\displaystyle |x|\leqslant C(\epsilon )\mathrm {rad} (k)^{2+\epsilon }}$ .

Здесь ${\displaystyle \mathrm {rad} (k)}$  — радикал целого числа ${\displaystyle k}$ .

Оказывается, из радикальной гипотезы Холла также следует ABC-гипотеза. Однако это утверждение нетривиально.^{[1] [2]}

Обобщение гипотезы Холла на другие степени — это гипотеза Пиллаи.

Примечания

Литература

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.
• Hall, Jr., Marshall. The Diophantine equation x³ - y² = k // Computers in Number Theory. — 1971. — P. 173–198. — ISBN 0-12-065750-3.

Ссылки

• A page on the problem by Noam Elkies
• Table of good examples of Marshall Hall’s conjecture by Ismael Jimenez Calvo.

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.