Теорема Мэйсона — Стотерса — аналог abc-гипотезы для многочленов. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981 году,[1] и Мейсона, который вновь открыл её после этого.[2]
Формулировка
Пусть
— попарно взаимно простые многочлены над полем, такие что
и хотя бы один из них имеет ненулевую производную. Тогда
Здесь
— радикал многочлена, это произведение различных неприводимых множителей
. Для алгебраически замкнутых полей радикал многочлена
это многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у
; в этом случае
это просто число различных корней
.[3]
Примеры
- Над полями характеристики 0 условие, что хотя бы одна производная
ненулевая равносильно тому, что хотя бы один многочлен — не константа. Над полями характеристики
недостаточно требовать, чтобы все
были неконстантными. Например, тождество
даёт пример, где
, а
.
- Если взять
, то мы получим пример, в котором в теореме Мейсона — Стотерса достигается равенство, что показывает, что оценка в теореме в некотором смысле неулучшаема.
- Простым следствием теоремы Мейсона — Стотерса является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если
для попарно взаимно простых
над полем характеристики, не делящей
, и
, то хотя бы один из
нулевой или все константы.
Доказательство
Из условия
следует, что
и
. Обозначим
. Отсюда следует, что
делит
. Поскольку все НОДы попарно взаимно просты, то их произведение делит
.
Ясно также, что
. От противного: если
, то
, значит
делит
, поэтому
(поскольку
при любом неконстантном
). Аналогично получаем, что
, что противоречит условию.
Из обеих утверждений получаем, что
По определению
имеем
, значит
Для любого многочлена
верно, что
. Подставляя сюда
и подставляя в неравенство выше, получаем
мы получаем, что
что и требовалось.
Снайдер дал элементарное доказательство теоремы Мейсона-Стотерса.[4]
Обобщения
Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.
Пусть
— алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть
— гладкая проективная кривая рода
, и пусть
— рациональные функции на
, такие что
, и пусть
— множество точек в
, содержащее все нули и полюсы
.
Тогда
Здесь степень функции в
это степень отображения, индуцированного из
в
.
Это было доказано Мэйсоном, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано Сильверманом.[5]
Существует дальнейшее обобщение, данное Voloch[6] и независимо Brownawell и Массером,[7] которое даёт верхнюю оценку для уравнений
, для которых верно, что нет подмножеств
, которые являются
-линейно независимыми. При этих предположениях они доказали, что
Ссылки
- ↑ Stothers, W. W. (1981), "Polynomial identities and hauptmoduln", Quarterly J. Math. Oxford, 2 Т. 32: 349–370, DOI 10.1093/qmath/32.3.349 .
- ↑ Mason, R. C. (1984), Diophantine Equations over Function Fields, vol. 96, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge, England: Cambridge University Press .
- ↑ Lang, Serge. Algebra. — New York, Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2002. — P. 194. — ISBN 0-387-95385-X.
- ↑ Snyder, Noah (2000), "An alternate proof of Mason's theorem", Elemente der Mathematik Т. 55 (3): 93–94, doi:10.1007/s000170050074, <http://cr.yp.to/bib/2000/snyder.pdf> .
- ↑ Silverman, J. H. (1984), "The S-unit equation over function fields", Proc. Camb. Philos. Soc. Т. 95: 3–4 .
- ↑ Voloch, J. F. (1985), "Diagonal equations over function fields", Bol. Soc. Brasil. Mat. Т. 16: 29–39 .
- ↑ Brownawell, W. D. & Masser, D. W. (1986), "Vanishing sums in function fields", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. Т. 100: 427–434 .