WikiSort.ru - Не сортированное

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение

Конечные группы Классификация простых конечных групп Циклическая группа Cp Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Группы Матьё M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Группы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Группы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Группы Фишера F22 • F23 • F24 Монстр (М)

Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом ${\displaystyle 0}$ . Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$ .
2. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$ , то ${\displaystyle x\leqslant z}$ .
3. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$ , то ${\displaystyle x=y}$ .
4. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых ${\displaystyle x,y}$ либо ${\displaystyle x\leqslant y}$ , либо ${\displaystyle y\leqslant x}$ .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

5. Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ , то для любого z справедливы соотношения:

${\displaystyle x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.}$

Если все пять аксиом выполнены, то группа ${\displaystyle G}$ называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа^[1].

Свойства

Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать, например:

• Если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d}$

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в произвольной группе ${\displaystyle G}$ линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

Пусть такое ${\displaystyle P}$ выделено. Определим линейный порядок в ${\displaystyle G}$ следующим образом^[3]:

${\displaystyle x\leqslant y}$ , если ${\displaystyle y-x\in P}$ (отметим, что из свойства (P3) следует, что если ${\displaystyle y-x\in P,}$ то и ${\displaystyle -x+y\in P,}$ даже если группа не коммутативна).

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры^[3].

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элементов группы: ${\displaystyle |x|=max(x,-x).}$ Здесь функция ${\displaystyle max}$ осуществляет выбор наибольшего значения.

Свойства абсолютной величины^[4]:

• ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0.}$
• Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0.}$
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|-x|.}$
• Неравенство треугольника: ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|.}$
• ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y.}$

Примеры

• Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
• Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
• Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.}$ Определим в ней множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу^[5].
• Определим в аддитивной группе ${\displaystyle G}$ всех комплексных чисел множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов следующим образом: ${\displaystyle a+bi\in P,}$ если либо ${\displaystyle a>0,}$ либо ${\displaystyle a=0;b\geqslant 0.}$ Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает ${\displaystyle G}$ в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком^[6]. В ней, например, ${\displaystyle 0<i<1,}$ причём сумма любого количества ${\displaystyle i}$ всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на ${\displaystyle i}$ неравенство ${\displaystyle i>0,}$ мы получим ошибочное неравенство ${\displaystyle -1>0}$ . Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

Примечания

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..
• Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972. — 343 с.
• Линейно упорядоченная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 322.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 343 с.