WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема о биссектрисе — классическая теорема геометрии треугольника.

Формулировка

Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные противолежащим сторонам. То есть, если биссектриса при вершине ${\displaystyle A}$ треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точке ${\displaystyle D}$ то

${\displaystyle {\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}.}$

История

Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III)^[1], в частности, на греческом языке в византийском манускрипте^[2]. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21).

Вариации и обобщения

• Если D — произвольная точка на стороне BC треугольника ABC, тогда

  ${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}$

  • В случае, когда AD — биссектриса, ${\displaystyle \sin \angle DAB=\sin \angle DAC}$ .

• Биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла^[3]:200.

• Теорема Штейнера.

См. также

• Антибиссектриса
• Биссектриса
• Высота (геометрия)
• Высота треугольника
• Инцентр
• Медиана треугольника
• Симедиана
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Треугольник
• Треугольник трёх внешних биссектрис
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Центроид
• Чевиана

Примечания

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 18-19.