WikiSort.ru - Не сортированное

Лэ́мбовский сдвиг — различие между энергиями стационарных состояний ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$ атома водорода и в водородоподобных ионах, обусловленное взаимодействием атома с нулевыми флуктуациями электромагнитного поля. Экспериментальное изучение смещения уровней атома водорода и водородоподобных ионов представляет фундаментальный интерес для проверки теоретических основ квантовой электродинамики^[1].

История открытия

Экспериментально установлен У. Ю. Лэмбом (Willis Lamb) и Р. Ризерфордом в 1947 году^[2]. В том же году теоретически объяснён Хансом Бете.

В 1955 году за свою работу Уиллис Юджин Лэмб был удостоен Нобелевской премии^[3][4].

В 1938 году расчёты, по существу предсказывающие лэмбовский сдвиг, провёл Д. И. Блохинцев, но его работа была отклонена редакцией журнала ЖЭТФ и была опубликована лишь в 1958 году в трудах Д. И. Блохинцева^[5].

Суть эффекта

Сдвиг уровней — это небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов от предсказаний релятивистской квантовой механики, основанных на уравнении Дирака. Согласно точному решению этого уравнения, атомные уровни энергии являются двукратно вырожденными: энергии состояний с одинаковым главным квантовым числом ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ и одинаковым квантовым числом полного момента ${\displaystyle j=1/2,3/2,...}$ должны совпадать независимо от двух возможных значений орбитального квантового числа ${\displaystyle l=j\pm 1/2=n-1}$ (исключая ${\displaystyle j+1/2=n}$ , когда ${\displaystyle l=j-1/2=n-1}$ ) ^{[источник не указан 3146 дней]}.

Однако Лэмб и Ризерфорд методом радиоспектроскопии обнаружили расщепление уровней ²S_1/2 (n = 2, l = 0, j = 1/2) и ²Р_1/2 (n = 2, l = 1, j = 1/2) в атоме водорода, которые по расчётам Дирака должны были совпадать. Величина сдвига пропорциональна ${\displaystyle \alpha ^{3}R}$ , где ${\displaystyle \alpha }$  — постоянная тонкой структуры, ${\displaystyle R}$  — постоянная Ридберга. Основной вклад в величину сдвига дают два радиационных эффекта^{[источник не указан 3146 дней]}:

1. испускание и поглощение связанным электроном виртуальных фотонов, что приводит к изменению эффективной массы электрона и возникновению у него аномального магнитного момента;
2. возможность виртуального рождения и аннигиляции в вакууме электронно-позитронных пар (т. н. поляризация вакуума), что искажает кулоновский потенциал ядра на расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона (~4⋅10⁻¹¹ см).

Определённый вклад вносят также эффекты движения и внутренней структуры ядра.

Эксперимент

В 1947 Уиллис Лэмб и Роберт Ризерфорд провели эксперимент с использованием микроволнового излучения для стимулирования радиочастотных переходов между квантовыми уровнями атома водорода ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$ . Разница в энергии, найденная Лэмбом и Ризерфордом для перехода между ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2},}$ составила ~1060 МГц.

Эта разность является эффектом квантовой электродинамики и может интерпретироваться как влияние виртуальных фотонов, которые испустились и были повторно перепоглощены атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантуется так же, как и гармонический осциллятор в квантовой механике. Основное состояние поля имеет энергию, отличную от нуля ${\displaystyle \hbar \omega /2}$ (см. Состояния Фока), то есть нулевые колебания поля увеличивают энергию электрона. Радиус орбиты электрона заменяется на величину ${\displaystyle (r+\delta r)}$ , что изменяет силу кулоновской связи электрона с ядром, поэтому вырождение уровней ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$ состояний снимается. Новую энергию уровней можно записать как (используются атомные единицы):

${\displaystyle \langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .}$

Сам лэмбовский сдвиг при ${\displaystyle l=0}$ :

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}}$

и при ${\displaystyle l\neq 0}$ , ${\displaystyle j=l\pm 1/2}$ :

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,\ell )\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right],}$

где ${\displaystyle k(n,\ell )}$  — малая величина (< 0.05)^[1].

Значение величины

В работе^[9] измерение лэмбовского сдвига было выполнено при помощи двойного атомного интерферометра. Было получено значение 1057,8514(19) МГц.

Ещё более сильное, чем в атоме водорода, электромагнитное взаимодействие происходит между электронами и ядрами тяжелых атомов. Исследователи из лаборатории GSI (Дармштадт, Германия) пропускали пучок атомов урана (зарядовое число 92) через фольгу, в результате чего атомы теряли все, кроме одного, из своих электронов, превращаясь в ионы с зарядом +91. Электрическое поле между ядром такого иона и оставшимся электроном достигало величины 10¹⁶ В·см⁻¹. Измеренный лэмбовский сдвиг в ионе составил 468 ± 13 эВ — в согласии с предсказаниями квантовой электродинамики^[10].

Лэмб экспериментально получил значение магнитного момента электрона, которое отличается в 1,001159652200 раз от значения магнетона Бора, предсказанного Дираком. Когда была создана теория перенормировок, лэмбовский сдвиг оказался первым физическим эффектом, на котором подтвердилась её правильность (и, соответственно, правильность квантовой электродинамики, построенной с использованием этой перенормировки). Вычисленное новое теоретическое значение оказалось равно 1,001159652415 магнетонам Бора, что поразительно точно совпадает с экспериментом.

По данным на 1996 г., вклад собственной энергии во втором порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{4}}$ ) составляет 1077,640 МГц, поляризация вакуума во втором порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{4}}$ ) составляет −27,084 МГц, релятивистские поправки (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{5}}$ ) составляют 7,140 МГц, релятивистские поправки (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{6}}$ ) равны −0,372 МГц, вклад собственной энергии в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha ^{2}(\alpha Z)^{4}}$ ) составляет 0,342 МГц, поляризация вакуума в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha ^{2}(\alpha Z)^{4}}$ ) равна −0,239 МГц, поправка на отдачу равна 0,359 МГц, поправка на конечный размер протона составляет 0,125 МГц^[11].

Полуклассическая оценка

Оценим величину лэмбовского сдвига, исходя из классического уравнения движения электрона под воздействием нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме^[6]:

${\displaystyle m\delta {\ddot {r}}=eE,}$

(1)

где ${\displaystyle \delta r}$ — отклонение электрона от орбиты, ${\displaystyle E}$ — напряжённость электрического поля нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме.

Разложим напряжённость электрического поля по плоским волнам

${\displaystyle E=\sum _{k}E_{k}\cos {w_{k}t},}$

(2)

где ${\displaystyle w_{k}=kc.}$

Интегрируя уравнения движения (1), получаем ${\displaystyle \delta {r}=-{\frac {e}{m}}\sum _{k}{\frac {E_{k}\cos {w_{k}t}}{w_{k}^{2}}}.}$ Среднее значение смещения ${\displaystyle \delta r}$ равно нулю, а средний квадрат смещения будет отличен от нуля: ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {e^{2}}{2m^{2}}}\sum _{k}{\frac {E_{k}^{2}}{w_{k}^{4}}}.}$

Используем формулу энергии нулевых колебаний

${\displaystyle W={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{V}{E^{2}}dV=\sum _{k}{\frac {1}{2}}\hbar {w_{k}}.}$

(3)

Разложение (2) в формуле (3) приводит к равенству ${\displaystyle E_{k}^{2}={\frac {4\pi \hbar w_{k}}{V}},}$ а средний квадрат амплитуды дрожания электрона на орбите будет равен ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2\pi {e^{2}}\hbar }{Vm^{3}}}\sum _{k}{\frac {1}{w_{k}^{3}}}.}$

Заменим здесь суммирование по волновым векторам на интегрирование по частотам вакуумных фотонов ${\displaystyle \sum _{k}\rightarrow 2V\int {\frac {dk}{(2\pi )^{3}}}.}$ Множитель ${\displaystyle 2}$ отвечает двум возможным поляризациям фотона.

В результате для ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}}$ получаем следующий интеграл

${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dw}{w}},}$

где ${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$ — постоянная тонкой структуры.

Оценим верхний и нижний пределы интегрирования в этом выражении. Так как движение электрона имеет нерелятивистский характер, то импульс, получаемый от фотона нулевых колебаний :${\displaystyle \hbar k<mc.}$

Верхний предел интегрирования

${\displaystyle w_{max}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$

Нижний предел интегрирования

${\displaystyle w_{min}={\frac {E_{n}}{\hbar }}={\frac {(Ze^{2})^{2}m}{2n^{2}\hbar ^{3}}},}$

где ${\displaystyle n=1,2,3...}$ — главное квантовое число.

Таким образом, окончательно имеем

${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha )^{2}}}.}$

Размеры области, по которой изменяются координаты электрона, определяются величиной

${\displaystyle r_{vac}={\sqrt {\overline {\delta r^{2}}}}={\frac {{\sqrt {\alpha }}\hbar }{mc}}.}$

Вследствие влияния нулевых колебаний выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром вместо выражения

${\displaystyle V(r)=e\varphi }$

преобразуется к виду

${\displaystyle V(r)=V+\delta {V}=e\varphi (r+\delta {r})=e[1+(\delta {r}\nabla )+{\frac {1}{2}}(\delta {r}\nabla )^{2}+...]\varphi (r).}$

(4)

В этой формуле выполнено разложение потенциала ядра по малому параметру ${\displaystyle \delta {r}}$ , а ${\displaystyle \nabla }$ — векторный дифференциальный оператор.

Усредняя уравнение (4) по дрожанию электрона и имея в виду уравнение Пуассона ${\displaystyle \Delta \varphi (r)=-4\pi \rho (r),}$ получим дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром

${\displaystyle \delta {V_{vac}}={\frac {4}{3}}e\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\rho (r)\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha )^{2}}}.}$

Учитывая, что движение электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ${\displaystyle \psi (r),}$ сдвиг уровней энергии ${\displaystyle \delta {E_{vac}}=<\delta {V_{vac}}>={\frac {4mc^{2}}{3\pi {n^{3}}}}\alpha {(Z\alpha )^{4}}\ln {\frac {2n^{2}}{{Z\alpha }^{2}}},}$ где ${\displaystyle |\psi (0)|^{2}={\frac {{Zm\alpha }^{3}}{\pi {n^{3}}}},}$ а угловые скобки означают усреднение по движению электрона.

Численное значение полученной оценки ${\displaystyle \delta {E_{vac}}}$ при ${\displaystyle n=2}$ составляет примерно 1000 МГц.

Примечания

Литература

• Скалли М. О., Зубайри М. С.  Квантовая оптика / под ред. В. В. Самарцева. — Физматлит, 2003.
• Сдвиг уровней — статья из Большой советской энциклопедии.