WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу, и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории схем групп, в теории групп (благодаря концепции группового кольца), и во многих других местах, делая их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный предмет, в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.

Определение

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем ${\displaystyle K}$ вместе с ${\displaystyle K}$ -линейным отображением ${\displaystyle S\colon H\to H}$ (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — её умножение, η — её единица и ε — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H}$ .

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле ${\displaystyle K}$ на коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$ ).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к H (которое всегда можно определить, если H является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Примеры

1. Групповая алгебра. Пусть G — группа. Алгебра R G — ассоциативная алгебра над R, с единицей. Если мы определим
2. Δ : R G → R G ⊗ R G, Δ(g) = g ⊗ g для любого g из G,
3. ε : R G → R, ε(g) = 1 для любого g из G,
4. S : R G → R G, S(g) = g⁻¹ для любого g из G,

то R G превращается в алгебру Хопфа.

Когомология групп Ли

Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение задано соумножением, и коумножение имеед вид

${\displaystyle H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)}$

в силу умножения группы ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$ . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема Хопфа^[5] Пусть A конечномерная, суперкоммутативная, кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

Квантовые группы

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное) или кокоммутативными (то есть Δ = T ∘ Δ, где T : H ⊗ H → H ⊗ H есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации или «квантования» примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций) что и алгебры Хопфа, где H — множество, а не модуль. В этом случае:

• поле R заменено множеством из 1 элемента
• есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
• есть естественное коумножение (диагональное отображение)
• единица — нейтральный элемент группы
• умножение — умножение в группе
• антипод — взятие обратного элемента в группе

В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над полем из одного элемента^[en].^[6]

Примечания

Ссылки

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras (недоступная ссылка), IHES preprint, September 2006, 81 pages
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119—151, Springer, Berlin (1964). MR: 4784
• Street, Ross (2007), Quantum groups, vol. 19, Australian Mathematical Society Lecture Series, Cambridge University Press, MR: 2294803, ISBN 978-0-521-69524-4; 978-0-521-69524-4 .

Литература

• Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.