WikiSort.ru - Не сортированное

GIMPS
Prime95, запущенная в Wine.
Платформа	своя
Объём загружаемого ПО	4 МБ
Объём загружаемых данных задания	<1 КБ
Объём отправляемых данных задания	<1 КБ
Объём места на диске	27 МБ
Используемый объём памяти	2,5 МБ (TF), 45 МБ (PM1-1), >350 МБ (PM1-2), 60 МБ (LL)
Графический интерфейс	да (только в Windows и Mac OS X)
Среднее время расчёта задания	20 мин. — 1 день (TF), 5 дней (PM1), >2 мес. (LL)
Deadline	нет
Возможность использования GPU	да

GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) — широкомасштабный проект добровольных вычислений по поиску простых чисел Мерсенна.

Цели и методы проекта

Определение того, является ли данное число простым, в общем случае не такая уж тривиальная задача. Только в 2002 году было доказано, что она полиномиально разрешима. Тем не менее, предложенный (и строго обоснованный теоретически) детерминированный алгоритм практически непригоден, в виду его большой, хотя и полиномиальной, сложности. Поэтому в криптографии с открытым ключом, где используются простые числа порядка ${\displaystyle 10^{300}}$ , простоту по-прежнему определяют с помощью эффективных вероятностных тестов, таких как тест Миллера — Рабина. Важно отметить, что если практика довольствуется числами, являющимися простыми с вероятностью близкой к ${\displaystyle 1}$ , то теория такие числа не приемлет: если про число утверждается, что оно простое, это должно быть строго доказано. Эта разница подчёркивается в разделении алгоритмов на вероятностные и детерминированные.

Если задаться вопросом, какое же наибольшее простое число^[1] известно человечеству — то ответом будет какое-то простое число Мерсенна. Числа Мерсенна имеют вид ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ . Заметим, что простота числа ${\displaystyle 2^{p}-1}$ влечёт простоту ${\displaystyle p}$ ; в противном случае ${\displaystyle p=xy}$ для ${\displaystyle x,y>1}$ и число ${\displaystyle 2^{p}-1=2^{xy}-1}$ не будет простым в виду делимости на ${\displaystyle 2^{x}-1}$ (как, впрочем, и на ${\displaystyle 2^{y}-1}$ ).

Как следует из названия, целью проекта GIMPS является поиск новых простых чисел Мерсенна. Самое большое известное на данный момент простое число ${\displaystyle M_{82589933}=2^{82589933}-1}$ было найдено в рамках проекта GIMPS 7 декабря 2018 года и состоит из 24 862 048 десятичных цифр. Более того, 15 предыдущих рекордов также были установлены участниками GIMPS. Причина кроется в наличии эффективного (детерминированного) критерия их простоты, носящего имя Люка — Лемера. Для поиска простых чисел Мерсенна сервер GIMPS раздаёт клиентам простые «экспоненты» ${\displaystyle p}$ для проверки числа ${\displaystyle M_{p}}$ на простоту тестом Люка — Лемера.

На сегодняшний день известно 51 простое число Мерсенна, при этом достоверно известны порядковые номера первых 47 из них. Порядковые номера четырех наибольших известных простых чисел Мерсенна пока достоверно не установлены (между ними могут оказаться другие, ещё не открытые простые числа Мерсенна).^[2]

Практическая значимость

Простые числа Мерсенна интересны уже тем, что они стабильно удерживают рекорд как самые большие известные простые числа.

Кроме того, простые числа Мерсенна играют важную роль в некоторых проблемах теории чисел. Например, Евклид обнаружил, что если число ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ простое, то число ${\displaystyle M_{p}(M_{p}+1)/2=2^{p-1}(2^{p}-1)}$ совершенно, т. е. равно сумме своих собственных делителей (примеры таких чисел: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, а Эйлер впоследствии доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид (вопрос о существовании нечётного совершенного числа открыт до сих пор).

Остаётся открытым вопрос о бесконечности количества простых чисел Мерсенна и об их асимптотике. Найденные простые числа Мерсенна могут служить отправной точкой для выдвижения и проверки гипотез о поведении простых чисел Мерсенна.

На практике простые числа Мерсенна применяются для построения генераторов псевдо-случайных чисел с большими периодами (см. Вихрь Мерсенна).

Денежные призы

GIMPS выиграла^[3] денежный приз в 100 000 долларов США за нахождение простого числа из более чем 10 миллионов десятичных цифр и намеревается выиграть аналогичные призы в 150 000 и 250 000 долларов США, обещанные^[4] Electronic Frontier Foundation за нахождение простых чисел соответственно из более чем 100 миллионов и 1 миллиарда десятичных цифр. Из суммы этого приза планируется сделать выплаты всем «открывателям» предыдущих простых чисел Мерсенна, авторам программного обеспечения и авторам новых, более эффективных алгоритмов поиска (если такие алгоритмы будут найдены).

Найденное в августе 2008 года число ${\displaystyle M_{43112609}=2^{43112609}-1}$ содержит 12 978 189 десятичных цифр это позволило GIMPS получить премию в 100 000 долларов США. Однако, чтобы получить следующую премию в 150 000 долларов США, придётся проверять на простоту числа из более чем 100 миллионов десятичных цифр, каждое из которых при текущем развитии вычислительной и алгоритмической техники потребует более трёх лет.

Вероятность успеха

Эвристические оценки показывают, что существуют ещё четыре неизвестных простых числа Мерсенна, состоящие менее чем из 100 миллионов десятичных цифр, а ближайшее из них может состоять примерно из 26 миллионов цифр^[5]. Подробную информацию об их возможном распределении, а также об ожидаемых трудозатратах на их нахождение можно получить на странице статистики проекта.^[6]

Тестирование аппаратного обеспечения

Клиентская программа GIMPS проводит интенсивные вычисления, постоянно следя за их точностью. Поэтому многие рассматривают её как прекрасный инструмент для тестирования стабильности работы аппаратной части компьютера. Пиковые нагрузки и жёсткий контроль позволяют легко выявлять проблемы с памятью, кэшем, шиной данных, разгоном и перегревом процессора и т. п. Для облегчения процедуры тестирования клиент GIMPS предоставляет возможность работы в режиме «stress testing», когда вычисления проводятся для известных простых чисел Мерсенна и результаты вычислений сверяются с ожидаемыми.

Поддерживаемые операционные системы

Клиентская часть ПО проекта GIMPS доступна^[7] для следующих операционных систем:

• Microsoft Windows 7/Vista/XP/2008/2003/2000/NT/Me/98/95. Также есть версия для 64-битных вариантов Windows 7/Vista/XP/2008.
• Mac OS X
• GNU/Linux (64-битная и 32-битная версии)
• FreeBSD (64-битная и 32-битная версии)

Примечания

Ссылки

• mersenne.org — официальный сайт GIMPS  (англ.)
• Инструменты и расширенная статистика GIMPS  (англ.)
• Mersenne Wiki  (англ.)
• Официальный форум GIMPS  (англ.)