WikiSort.ru - Не сортированное

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета^[en]. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Пусть

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида

где a и b — целые числа.

Пусть ${\displaystyle \pi }$  — простое в кольце D с нормой ${\displaystyle N(\pi )}$ , такое что ${\displaystyle N(\pi )\neq 3}$ . В этом случае ${\displaystyle N(\pi )-1}$ делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:

• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=0}$ , если ${\displaystyle \alpha }$ делится на ${\displaystyle \pi }$ .
• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\alpha ^{(N(\pi )-1)/3}\mod \pi }$ иначе.

Заметим, что при ${\displaystyle \pi }$ , не делящем ${\displaystyle \alpha }$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: ${\displaystyle \{1,\ \omega ,\ \omega ^{2}\}}$ .

Кубический закон взаимности

Назовём ${\displaystyle \pi }$ примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \theta }$  — примарные, тогда

Другие свойства характера кубического вычета

• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1}$ тогда и только тогда, когда сравнение ${\displaystyle x^{3}\equiv \alpha \mod {\pi }}$ разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$  — кубический вычет
• Мультипликативность: ${\displaystyle \left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}}$
• Периодичность: если ${\displaystyle \alpha \equiv \beta \mod {\pi }}$ , то ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}}$
• Если ${\displaystyle \pi =-1+3(m+n\omega )}$  — примарное, то

• ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}}$
• ${\displaystyle \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}}$

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.

В другом языковом разделе есть более полная статья Cubic reciprocity (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода. При этом, для соблюдения правил атрибуции, следует установить шаблон {{переведённая статья}} на страницу обсуждения, либо указать ссылку на статью-источник в комментарии к правке.