WikiSort.ru - Не сортированное

Фильтр Чебышёва^{[К 1]} — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Фильтр Чебышёва I рода

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра ${\displaystyle n}$ -го порядка задаётся следующим выражением:

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — показатель пульсаций, ${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота среза, а ${\displaystyle T_{n}(x)}$ — многочлен Чебышёва ${\displaystyle n}$ -го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) ${\displaystyle \varepsilon }$ . В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального ${\displaystyle G=1}$ до минимального ${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$ . На частоте среза ${\displaystyle \omega _{0}}$ коэффициент усиления имеет значение ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$ , а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАФЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = ${\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$ .

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют ${\displaystyle \varepsilon =1}$ .

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси ${\displaystyle j\omega }$ в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Полюса и нули

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту ${\displaystyle s}$ , получим:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0}$ .

Представив ${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$ и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0}$ .

Разрешим последнее выражение относительно ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}}$ .

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

${\displaystyle s_{pm}=i\cos(\theta )=}$

${\displaystyle =i\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right)}$ .

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \,\mathop {\mathrm {sh} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+}$

${\displaystyle +j\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$ ,

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ и

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}}$ .

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром ${\displaystyle \theta _{n}}$ . Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в ${\displaystyle s}$ -плоскости, причём центр эллипса находится в точке ${\displaystyle s=0}$ , полуось действительной оси имеет длину ${\displaystyle \mathop {\mathrm {sh} } (\mathop {\mathrm {arsh} } (1/\varepsilon )/n)}$ , а полуось мнимой оси имеет длину ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ch} } (\mathop {\mathrm {arsh} } (1/\varepsilon )/n)}$ .

Групповая задержка

Групповая задержка определяется как минус производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}$

Фазовые характеристики

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

${\displaystyle \tau _{\varphi }={\frac {\arg H(j\omega )}{\omega }}}$

Временны́е характеристики

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Фильтр Чебышёва II рода

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

${\displaystyle G_{n}(\omega ,\;\omega _{0})={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}}}$

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}}$

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза ${\displaystyle \omega _{0}}$ . Параметр ${\displaystyle \varepsilon }$ связан с затуханием в полосе подавления ${\displaystyle \gamma }$ в децибелах следующим выражением:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{0,\!1\gamma }-1}}}}$

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: ${\displaystyle \varepsilon =0,\!6801}$ ; для затухания в 10 дБ: ${\displaystyle \varepsilon =0,\!3333}$ . Частота ${\displaystyle f_{C}=\omega _{C}/(2\pi )}$ является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ ${\displaystyle f_{H}}$ связана с ${\displaystyle f_{C}}$ следующим выражением:

${\displaystyle f_{H}=f_{C}\,\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {ch} } ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}$ .

Полюса и нули

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ фильтра Чебышёва:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0}$ .

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \,\mathop {\mathrm {sh} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+}$

${\displaystyle +j\mathop {\mathrm {ch} } \left({\frac {1}{n}}\mathop {\mathrm {arsh} } \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$ ,

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ .

Нули ${\displaystyle (\omega _{zm})}$ фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения::

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0}$ .

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

${\displaystyle 1/s_{zm}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)}$ ,

где ${\displaystyle m=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ .

Групповая задержка

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

Фазовые характеристики

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

Временные характеристики

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Цифровые фильтры Чебышёва

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка^{[источник не указан 790 дней]}:

Z-преобразование каждого каскада:

${\displaystyle S(Z)={\frac {a(Z)}{b(Z)}}={\frac {\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot Z^{-1}+\alpha _{2}\cdot Z^{-2}}{1+\beta _{1}\cdot Z^{-1}+\beta _{2}\cdot Z^{-2}}}}$ .

Во временно́й области преобразование записывается как:

${\displaystyle y[n]=\alpha _{0}\cdot x[0]+\alpha _{1}\cdot x[-1]+\alpha _{2}\cdot x[-2]-\beta _{1}\cdot y[-1]-\beta _{2}\cdot y[-2]}$

Коэффициенты ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle \beta _{i}}$ подсчитываются из коэффициентов ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ :

${\displaystyle K=\mathop {\mathrm {tg} } \left(\pi {\frac {\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}}\right)}$ ^{[источник не указан 790 дней]}

${\displaystyle {\mbox{temp}}_{i}=\cos {\frac {(2i+1)\pi }{n}}}$ ^{[источник не указан 790 дней]}

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{\mathop {\mathrm {ch} } ^{2}\gamma -{\mbox{temp}}_{i}^{2}}}}$ ^{[источник не указан 790 дней]}

${\displaystyle a_{i}=K\cdot b_{i}\cdot \mathop {\mathrm {sh} } \,\gamma \cdot 2\,{\mbox{temp}}_{i}}$ ^{[источник не указан 790 дней]}

${\displaystyle \alpha _{0}=K\cdot K}$

${\displaystyle \alpha _{1}=2\cdot K^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{2}=K\cdot K}$

${\displaystyle \beta _{0}^{\prime }=(a_{i}+K^{2}+b_{i})}$

${\displaystyle \beta _{1}^{\prime }=2\cdot (b_{i}-K^{2})}$

${\displaystyle \beta _{2}^{\prime }=(a_{i}-K^{2}-b_{i})}$

${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{1}^{\prime }/\beta _{0}^{\prime }}$

${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{2}^{\prime }/\beta _{0}^{\prime }}$

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имеет более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

См. также

• Гребенчатый фильтр
• Фильтр (электроника)
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой
• Цифровая обработка изображений
• Цифровая обработка сигналов

Комментарии

Примечания

Библиография

• Кривицкий, Б. Х. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М. : Энергия, 1977.
• Лукас, В. А. Теория автоматического управления. — M. : Недра, 1990.
• Daniels, Richard W. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6.
• Higgins, Richard J. Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X.
• Haykin, S. Adaptive Filter Theory. — 4th ed. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1.
• Honig, Michael L.; Messerschmitt, David G. Adaptive Filters – Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA : Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0.
• Markel, J. D.; Gray Jr., A. H. Linear Prediction of Speech. — New York : Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1.
• Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5.
• Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X.
• Rabiner, L. R.; Schafer, R. W. Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1.
• Rabiner, L. R.; Gold, B. Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4.
• Rorabaugh, Britton C. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7.
• Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — 2nd ed. — San-Diego : California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1.
• Widrow, B.; Stearns, S. D. Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0.

Ссылки

	Фильтр Чебышёва на Викискладе

• Как рассчитывать рекурсивные фильтры? (неопр.) (недоступная ссылка). НГУ. Проверено 14 февраля 2014. Архивировано 30 ноября 2013 года.
• Классификация фильтров (неопр.). Аналоговые измерительные устройства. Проверено 14 февраля 2014.
• Лекция по цифровой фильтрации (неопр.). DSP.sut.ru. Проверено 14 февраля 2014. Архивировано 12 марта 2007 года.
• Расчёт фильтра Чебышёва первого рода с примерами (неопр.). Dsplib.ru. Проверено 14 февраля 2014.
• Расчёт фильтра Чебышёва второго рода с примерами (неопр.). Dsplib.ru. Проверено 14 февраля 2014.
• Фильтры нижних частот (неопр.). Gaw.ru (Рынок Микроэлектроники). Проверено 14 февраля 2014.
• Chebyshev Filters (неопр.). Texas Instruments. Проверено 14 февраля 2014. Архивировано 5 августа 2012 года. (англ.)

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.