WikiSort.ru - Не сортированное

Уровни привязки значений к трём состояниям троичных устройств

В некоторых троичных устройствах все три состояния одинаковы и ни логические ни арифметические значения не определены^[1], не определено и направление сдвига, либо правое (по часовой стрелке), либо левое (против часовой стрелки), но на этом уровне уже можно закрепить одно из двух направлений вращения и уже отличать левое вращение от правого вращения.
На втором уровне за тремя состояниями могут быть закреплены три значения, но ещё без привязки арифметических значений, например, треугольник, квадрат и круг. На втором уровне становится возможным привязка логических значений («ложно», «не определено», «истинно»), например:
«треугольник» = «ложно»,
«квадрат» = «не определено»,
«круг» = «истинно»,
хотя в общем случае привязка может быть и другой.
На втором уровне логические значения арифметических значений не имеют.
На третьем уровне трём состояниям приписываются арифметические значения: 0, 1 и 2 или −1, 0 и +1. На третьем уровне логические значения условно имеют и арифметические значения. Наиболее часто встречается привязка арифметических значений не совместимая с обычной привязкой в двоичной логике:
«ложно» = −1,
«не определено» = 0,
«истинно» = +1,
хотя в общем случае привязка арифметических значений может быть и другой, например, привязка:
«ложно» = 0,
«не определено» = 2,
«истинно» = 1,
совместима с обычной привязкой в двоичной логике и соответствует левому вращению при обычной привязке последовательности арифметических значений (0,1,2).

В других троичных устройствах три состояния отличаются, например, по полярности напряжения, и не равнозначны^[2]. В этих устройствах очень сильна привязка к уровням напряжения и арифметических и логических значений:
«отрицательное напряжение» = «-1» = «-» = «ложно»,
«близкое к нулю напряжение» = «0» = «не определено»,
«положительное напряжение» = «+1» = «+» = «истинно»,
но и в этих устройствах возможны другие привязки.

Для работы с третьим логическим значением - "не определено" лучше подходят четверичная логика, восьмиричная логика и другие логики кратные 4, чем троичная логика.

Обозначения троичных функций

В общем случае, как в патентном деле, обозначение может быть любым, но необходимо указывать что обозначает каждый элемент в обозначении.
Единой системы обозначений троичных функций ещё не сложилось. Разные авторы применяют разные системы обозначений троичных функций. Пример различных обозначений унарных троичных функций разными авторами приведён в таблице 3 и в подразделе «Обозначения» там же.

При одновременной работе с троичными и двоичными функциями необходимо указывать троичность или двоичность. Это можно сделать буквами T (Ternary) и B (Binary). Например, FT — троичная функция, а FB — двоичная функция.

Так как функции могут иметь разное количество аргументов (арность), то необходимо указывать и арность функций. Так как унарные, бинарные, тринарные и т.д. функции имеются и в двоичной и в троичной и в более -ичных системах, то обозначение системы должно предшествовать обозначению арности. Например, FT1 - троичная унарная функция, FT2 - троичная бинарная функция, FT3 - троичная тринарная функция.

Так как половина номеров разных троичных симметричных и троичных несимметричных функций совпадают, то нужно указывать симмеричность или несимметричность номера функции. Это можно сделать буквами S (Symmetric) и N (Nonsymmetric). Например, FT1S — троичная унарная функция с симметричным номером, FT1N — троичная унарная функция с несимметричным номером, а FT2B1N — смешанная функция с двумя троичными аргументами, с одним двоичным аргументом и с несимметричным номером.

После можно поставить номер функции. Например, FT1N7 - троичная унарная функция с несимметричным номером "7".

Так как некоторые разные номера в троичном и в десятичном виде совпадают, например, 22 троичное равно 8 десятичным, то после номера нужно ставить индекс обозначающий основание системы счисления. Например, FB2N22₁₀, FT2S22₃, FT2N22₁₀ — это три разные функции.

Названия троичных функций

Как и в двоичной логике, троичная функция может не иметь собственного названия словами, тогда её называют по номерному обозначению, или одна и та же функция может иметь одно или несколько собственных названий словами, в зависимости от области применения.

Соответствия троичной несимметричной и троичной симметричной систем обозначений

В троичной симметричной системе обозначений арифметические значения −1, 0 и +1 очень сильно связаны с логическими обозначениями (−1, 0, +1) или (−, 0, +). Во втором обозначении 1 явно не присутствует, но неявно подразумевается.

В троичной несимметричной системе обозначений, кроме 0 и +1, арифметические значения −1, 0 и +1 менее сильно связаны с логическими обозначениями (0,1,2).

Из таблицы 4 следует, что:

F1TN0 = F1TS-13

…

F1TN13 = F1TS0

…

F1TN26 = F1TS+13

или

F1TS-13 = F1TN0

…

F1TS0 = F1TN13

…

F1TS+13 = F1TN26,

то есть трёхразрядные троичные номера унарных троичных функций с симметричным кодированием сдвинуты по отношению к номерам унарных троичных функций с несимметричным кодированием на ${\displaystyle -3^{2}-3^{1}-3^{0}\ =\ -9-3-1\ =\ -13_{10}.}$
Девятиразрядные троичные номера бинарных троичных функций с симметричным кодированием сдвинуты по отношению к номерам бинарных троичных функций с несимметричным кодированием на ${\displaystyle -3^{8}-3^{7}-3^{6}-3^{5}-3^{4}-3^{3}-3^{2}-3^{1}-3^{0}\ =}$ ${\displaystyle \ -6561-2187-729-243-81-27-9-3-1\ =\ -9841_{10}.}$

Троичное несимметричное кодирование удобнее в общетроичных применениях. Троичное симметричное кодирование удобнее при работе с троичными симметричными числами. Не зависимо от системы кодирования, сами функции выполняют с операндами (аргументами) одно и то же действие, даже с не упомянутыми выше системами кодирования.

Перевод троичных несимметричных чисел в троичные симметричные числа

Троичные несимметричные числа с кодировкой (-1,0,+1)=(0,1,2) относительно просто преобразуются в троичные симметричные числа с кодировкой (-1,0,+1)=(2,0,1) с помощью следующего алгоритма^[3] (Ошибка Депмана И. Я.: Для записи цифр в трёхзначных системах, в том числе и в числовых троичных системах, требуется три знака. В обозначениях Депмана третьим знаком является надчёркнутая единица - "1", но третьим знаком может быть и "2" и "i" и "7" и "N" и "n" и любой другой знак отличный от знаков "0" и "1".):
1. Начиная с младшего разряда троичного несимметричного числа с кодировкой (-1,0,+1)=(0,1,2):
2. Если число в текущем разряде больше 1 (2 или 3), то в следующий разряд прибавляется 1 (2 остаётся, но уже как обозначение -1); если число в текущем разряде равно 3, то текущий разряд устанавливается в 0.
3. Переход к следующему по старшинству разряду.
Для отрицательных троичных несимметричных чисел преобразование делают от модуля троичного несимметричного числа, а в результате, во всех разрядах, заменяют "1" на "2", а "2" на "1" с помощью троичной симметричной функции Swap12(X).

Нульарные троичные логические функции (операции, элементы)

Унарные троичные логические функции с унарным выходом

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*m}}$ простейших унарных (с одним входом, с одним аргументом, с одним операндом, одноместных) троичных функций, где m — число выходов, выходная арность функции. Для унарных (с одним входом) троичных функций с унарным выходом m=1 и их число равно ${\displaystyle 3^{(3^{1})*1}=3^{3}=27}$ .
Количество простейших унарных троичных функций равно числу размещений с повторениями (выборок с возвращением) при k=n=3:

${\displaystyle {\bar {A}}(n,k)={\bar {A}}_{n}^{k}=n^{k}=3^{3}=27}$

Так как возможны более сложные функции, дающие при подаче на вход одного трита тот же результат, что и простейшие унарные троичные функции, то число более сложных троичных функций с нижеприведёнными результатами от одного трита теоретически бесконечно.
Таблица 1. Результаты действия простейших унарных троичных функций при последовательной подаче на вход трёх значений троичного разряда (трита): 0, 1 и 2.
В несимметричной троичной системе кодирования (-1,0,+1) = (0,1,2):
Таблица 3.

По таблице видно, что при последовательной подаче на вход функции значений от 0 до 2, на выходе функции образуется строка, например, «022»₃, которая является и номером функции и строкой её действия, то есть и номер функции и строка её действия содержатся в самой функции. Это свойство может оказаться полезным в случае невозможности чтения номера функции на корпусе микросхемы (стёрся, закрашен, не доступен).

По таблице видно, что выходные триты, после действия функций, в 21 случае из 27 теряют трёхзначность и в 18 случаях становятся двухзначными (переходниками в двоичную логику), а в 3 случаях становятся однозначными константами (переходниками к константам) (FT1N0, FT1N13 и FT1N26), и только в 6 случаях (три обмена, два вращения и повторитель) остаются трёхзначными (FT1N5, FT1N7, FT1N11, FT1N15, FT1N19 и FT1N21).

Все 27 унарных троичных операций (функций) выполняются троичным унарным с унарным выходом АЛУ (1Трит-1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе Atanua приведён на рисунке справа, и записываются в троичный триггер с соответствующей логикой управления.

Обозначения

Для обозначения унарных троичных функций достаточно любых трёх троичных знаков (3³=27), 4/3 девятеричного знака (9^(4/3)=27) или одного двадцатисемеричного знака, следовательно, так как возможно бесконечное количество таких знаков, возможно бесконечное множество обозначений унарных троичных функций. Из этого множества обозначений числовые обозначения по результатам действия функций являются естественными обозначениями^{[источник не указан 3088 дней]}.

Цифровые обозначения могут быть постфиксными надстрочными, строчными и подстрочными и префиксными надстрочными, строчными и подстрочными, при этом для надстрочных и подстрочных обозначений нужно набирать пять знаков для открывающих и шесть знаков для закрывающих скобок, поэтому проще цифровые строчные обозначения с обычными скобками.

Grabb^[10] использует для обозначения шесть знаков: ∪, ∩, ↘, ↗, A, A, из которых 5 труднонабираемы на клавиатуре. Два шестеричных знака могут выразить до 6²=36 функций, тем не менее Grabb использует для обозначения −7, −3, 3 и 7 функций четыре знака, что относительно избыточно (6⁴=1296).

Mouftah использует для обозначения 16 знаков: ¬, ¬, ⌐, ⌐, ┘, ┘, └, └, ⊼, ⊽, 0, +, (,), A, A, из которых 11 трудно набираемы на клавиатуре. Два шестнадцатеричных знака могут выразить до 11²=256 функций, тем не менее для −6 и −2 функций Mouftah использует 11 знаков, что относительно избыточно (16¹¹=17592186044416).

Yoeli обозначает положительные декодеры −1, 0 и +1 с двумя и тремя трудно набираемыми на клавиатуре надстрочными индексами, при этом не описываются положительные декодеры с двумя 0, нулевые декодеры с двумя 1 и с двумя −1, отрицательные декодеры с двумя 0 и с двумя 1.

В симметричной троичной системе:
Таблица 4.

Знаки «i», «1», «7» и «2» обозначают «-1».
По таблице видно, что при симметричном кодировании, функции являются теми же самыми, что и при несимметричном кодировании, только номера функций смещены на −13, и при замене знаков (-1,0,+1) на знаки (0,1,2) получается таблица унарных троичных функций в несимметричной троичной системе с соответствием (-1,0,+1) = (0,1,2).
Если знак «i» заменить на знак «2», то номера функций будут отличаться от номеров функций в таблице с несимметричным кодированием только на «вращение на 1 вперёд» несимметричного номера, то есть на функцию FT1N7 (RotF) от несимметричного номера.
Соответственно, что бы получить номер функции в таблице с несимметричным кодированием, в номере с симметричным кодированием нужно заменить знак «i» на знак «2» и взять от каждого его разряда троичную функцию «вращение на 1 назад» (FT1N11, RotB).

Троичная логическая тождественная функция

Троичный логический повторитель. Является простейшей линией задержки.

Обмены и вращения

Отрицание (инверсия, переворот, обращение) Not (Inv) существует только в чётных логиках: двоичной, четверичной, шестеричной и т.д.
В троичной логике вместо отрицания (инверсии, переворота, обращения) Not (Inv) существует пять подобных функций: три обмена - Swap и два вращения - Rot, которые не являются точными подобиями отрицания (инверсии), но немного похожи на отрицание (инверсию).
В восьмиричной логике обмен двух значений на восьмиричной окружности изменяет только два значения из восьми и очень мало похож на двоичную инверсию. Четыре циклических сдвига же на 1 шаг (Rot) на восьмиричной окружности делают полную инверсию всех восьми значений. Таким образом, почти полным подобием двоичной инверсии Not (вращению на 180°) в восьмиричной логике являются 4 циклических сдвига на 1 шаг (на 45°) влево или вправо (RotateLeft и RotateRight). Так же и в троичной логике подобиями двоичной инверсии Not являются циклические сдвиги влево и вправо на 1 шаг (на 120°) (RotateLeft и RotateRight), а не обмены только двух значений из всех трёх (Swap), с той лишь разницей, что в троичной логике, из-за шага 120°, нет такого подобия двоичной инверсии Not, как в восьмиричной и в других чётных логиках.
Во времена, когда этого не знали, сложились ошибочные названия типа "инверсия Лукасевича", которая, на самом деле, является центральным из трёх обменов - Swap+1/-1 и менее подобна двоичной инверсии Not, чем циклические сдвиги на 1 шаг влево и вправо (вращения на 120° влево и вправо, RotateLeft и RotateRight).

Обмены в троичной логике

Обмены — унарные операции, меняющие местами два из трёх логических состояний.
В отличие от двоичной логики, в которой есть только один обмен Swap0/+1, совпадающий с инверсией (отрицанием) Not, в троичной логике существуют три обмена^[17]:
— FT1N19, FT1S+2, Swap0/+1 (обмен 0 и +1), ("NOT-1")
— FT1N15, FT1S-8, Swap+1/-1 (обмен +1 и -1), ("NOT0", "NOTL" — "инверсия Лукасевича")
— FT1N5, FT1S+6, Swap0/-1 (обмен 0 и −1), ("NOT+1")

Традиционный обмен Swap+1/-1 (называемый обращением или дополнением, неполным отрицанием), не влияющий на состояние "0" («неизвестно»), в некоторых статьях по троичной логике ошибочно называют "отрицанием Лукасевича" ("инверсией Лукасевича") и обозначают как "~Lx" ("NLx", "¬Lx", "x’L", "NOTL" или "NOT0"). Функция "инверсии (отрицания) Лукасевича" входит в логику Клини. Логика Лукасевича и логика Клини были ранними исследованиями троичных функций и не охватывали все троичные функции. Они являются усечёнными подмножествами общего множества простейших троичных функций.

Кроме традиционного обмена Swap+1/-1 ("инверсия Лукасевича"), который сохраняет неизменным состояние 0 («неизвестно»), выделяют ещё две операции обмена, которые обозначают как Swap0/+1 ("NOT-1") и Swap0/-1 ("NOT+1"). Первый сохраняет неизменным состояние −1 («ложь»), а второй сохраняет +1 («истина»):
Таблица 5. (По этой таблице определяются номера Swap'ов в троичной симметричной системе кодирования.)

y\x	+1	0	-1
FT1S+2	0	+1	-1	Swap0/+1, "NOT-1", обмен двух старших значений
FT1S-8	-1	0	+1	Swap+1/-1, "NOT0", "NOTL", обмен двух крайних значений ("инверсия Лукасевича")
FT1S+6	+1	-1	0	Swap0/-1, "NOT+1", обмен двух младших значений

В троичной несимметричной системе кодирования возможны шесть соответствий троичной симметричной системе кодирования, но наиболее значимыми являются только два соответствия из шести: с заменой знака "-1" на "2" без циклического сдвига вперёд (вверх, вправо) на +1 (-1,0,+1)=(2,0,1) и с циклическим сдвигом вперёд (вверх, вправо) на +1 (-1,0,+1)=(0,1,2).
Эта же таблица, но с обозначениями (-1,0,+1)=(2,0,1) и с перебором значений аргумента: 2, 0, 1):

y\x	1	0	2
FT1S+2	0	1	2	Swap01, обмен двух старших значений
FT1S-8	2	0	1	Swap12, обмен двух крайних значений ("инверсия Лукасевича")
FT1S+6	1	2	0	Swap02, обмен двух младших значений

Эта же таблица в троичной несимметричной системе кодирования без сдвига, а только с заменой знака "-1" на "2" (-1,0,+1)=(2,0,1), но с перебором значений аргумента: 0, 1, 2 (по этой таблице определяются номера функций в троичной несимметричной системе кодирования) (в этой таблице "инверсия Лукасевича" уже является обменом двух старших значений, а не двух крайних значений, как в предыдущих таблицах, так же и две других функции обмена, но, для лучшего различения функций обмена лучше оставить названия их действий в троичной симметричной системе кодирования):

y\x	2	1	0
FT1N19=FT1S+2	2	0	1	Swap01, обмен двух старших значений
FT1N15=FT1S-8	1	2	0	Swap12, обмен двух крайних значений ("инверсия Лукасевича")
FT1N5=FT1S+6	0	1	2	Swap02, обмен двух младших значений

В таблице же в троичной несимметричной системе кодирования со сдвигом на RotR(X) (-1,0,+1)=(0,1,2), те же функции в таблице оказываются циклически сдвинутыми на одну строку, т.е. "инверсией Лукасевича" уже является не FT1N15 (Swap12), а FT1N5 (Swap02), так же сдвинуты и две другие функции Swap:

y\x	2	1	0
FT1N15	1	2	0	Swap12 (обмен двух старших значений)
FT1N5	0	1	2	Swap02 (обмен двух крайних значений), ("инверсия Лукасевича")
FT1N19	2	0	1	Swap01 (обмен двух младших значений)

Граф операции Swap0/+1 ("NOT-1") — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к +1 и обратно.
Граф переходов в операции Swap+1/-1 ("инверсии Лукасевича") — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от +1 к −1 и обратно. Граф операции Swap0/-1 ("NOT+1") — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к −1 и обратно.
Все три операции линейные, одномерные, из линии в плоскость не выходят.

Закон двойного обмена справедлив для всех многозначных логик.
Для всех трёх обменов, как и для Swap0/+1(Swap01(X)) = X в двоичной логике, справедливы уравнения:

Swap0/+1(Swap0/+1(X)) = X
Swap+1/-1(Swap+1/-1(X)) = X
Swap0/-1(Swap0/-1(X)) = X

Вращения

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным результатом (выходом)

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*2}=3^{6}=729}$ простейших унарных троичных функций с бинарным выходом.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с бинарным (двухразрядным) (результатом) выходом.

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с тринарным результатом (выходом)

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*3}=3^{9}=19\ 683}$ простейших унарных троичных функций с тринарным выходом.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с тринарным (трёхразрядным) результатом (выходом).

Троичный дешифратор «1 трит в 3 строки»

Можно рассматривать как объединение трёх унарных троичных функций с унарными результатами из таблицы 1.

Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с m-арными выходами

Всего существует ${\displaystyle 3^{(3^{1})*m}}$ простейших унарных троичных функций с m-арным выходом, то есть бесконечное число.

К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с m-арным (m-разрядным) результатом (выходом).

Бинарные троичные логические функции с унарным результатом

Всего возможно ${\displaystyle 3^{(3^{2})}=3^{9}=19\ 683}$ простейших бинарных (двуместных, двухоперандных, двухаргументных, двухвходовых) троичных функций с унарным выходом, некоторые из них приведены в таблице:

Таблица некоторых бинарных троичных функций с унарным выходом с симметричным кодированием

Таблица 6.

x0=x	1	0	i	1	0	i	1	0	i
x1=y	1	1	1	0	0	0	i	i	i	Название действия (функции)	Обозначение
FT2S-9841	i	i	i	i	i	i	i	i	i	Тождественная -1, тождественный минимум	F-9841(x,y) = -1
FT2S-9618	i	i	i	i	1	1	i	1	0	Функция Вебба	F-9618 = Webb(x,y)
FT2S-6388	i	0	0	1	i	0	1	1	i		F-6388
FT2S-4542	i	1	0	i	1	0	i	1	0	циклический сдвиг вперёд на 1/3 оборота только одного второго аргумента (операнда)	F-4542 = SHIFTF(X,Y) = SHIFTF(X)
FT2S-4160	i	1	0	1	0	i	0	i	1	Младший разряд суммы (разности) при сложении в троичной симметричной системе счисления, sum3s(x,y)	F-4160
FT2S-3700	i	1	1	0	i	1	0	0	i		F-3700
FT2S-3445	i	1	1	1	i	1	1	1	i	x≠y, notL(x=y), детектор x≠y (true=+1 и false=-1)	F-3445
FT2S-2688	0	i	i	1	0	i	1	1	0	sign(y-x), Magnitude Function Стива Грабба[23]	F-2688 = sign(y-x)
FT2S-1612	0	i	1	i	1	0	1	0	i	Сложение по модулю 3 в несимметричной системе, summod3n(x,y)	F-1612
FT2S-850	0	0	i	0	i	i	i	i	i	Разряд переноса при бинарном сложении в несимметричной системе	F-850
F2TS0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	Тождественный ноль, тождественная середина	F0(x,y) = 0
FT2S2688	0	1	1	i	0	1	i	i	0	notL(sign(y-x)), инверсия Лукасевича от Magnitude Function по Стиву Граббу	F2688
FT2S3700	1	i	i	0	1	i	0	0	1		F3700
FT2S3955	1	i	i	1	1	i	1	1	1	(x<y, notL(x>y)) (true=+1 и false=-1)	F3955
FT2S5792	1	0	i	0	0	i	i	i	i	Меньшее из двух, минимум	F5792 = min(x,y)
FT2S5833	1	0	i	0	0	0	0	0	1	Троичная функция следования Брусенцова	F5833
FT2S6056	1	0	i	1	0	i	1	0	i	повтор только второго аргумента (операнда)	F6056 = YES1(x,y) = x
FT2S6088	1	0	i	1	0	0	1	1	1	Импликация материальная	F6088
FT2S6142	1	0	i	1	1	i	1	1	1	Импликация Гейтинга	F6142
FT2S6169	1	0	i	1	1	0	1	1	1	Импликация Лукасевича	F6169
FT2S6388	1	0	0	i	1	0	i	i	1		F6388
FT2S6550	1	0	0	0	0	0	0	0	i	Разряд переноса при бинарном сложении в симметричной троичной системе	F6560
FT2S9331	1	1	1	i	1	1	i	i	1	x>y, notL(x-y) (true=+1 и false=-1)	F9331
FT2S9464	1	1	1	0	0	0	i	i	i	повтор только первого аргумента (операнда)	F9464 = YES2(x,y) = y
FT2S9728	1	1	1	1	0	0	1	0	i	Большее из двух, максимум	F9728 = max(x,y)
FT2S9841.	1	1	1	1	1	1	1	1	1	Тождественная +1, тождественный максимум	F9841(x,y) = 1

«i», «1», «7» или «2» означают «-1»

Все 19 683 простейшие троичные бинарные функции выполняются троичным АЛУ (2Трита в 1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе Atanua приведён на рисунке.

Троичная эмуляция двоичной 2ИЛИ-НЕ (стрелки Пирса)

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  0  0  0 
- 1  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичного сложения по модулю 2, XOR

Троичная эмуляция двоичной функции "бинарное сложение по модулю 2", XOR.
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  0  0 
- 0  1  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной 2И-НЕ (штриха Шеффера)

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2И-НЕ (штриха Шеффера).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  0  0 
- 1  1  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной 2И, min(x,y)

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2-in AND, 2И, min(x,y).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  0  1  0 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной прямой (материальной) импликации, x <= y

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции "прямая (материальная) импликация", x <= y.
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  1  0 
- 1  0  0 -> x
  |

На диаграмме хорошо видна несимметричность функции.
В виде таблицы истинности:

Троичная эмуляция двоичной 2ИЛИ, max(x,y)

Троичная эмуляция двоичной бинарной функции 2-in OR, 2ИЛИ, max(x,y).
Результат является двоичным.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  1  0 
- 0  1  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Больше

Результат по сути является двоичным.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(1,0,1):
Истинно=1, ложно=1.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность функции по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, т.е. при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной симметричной системе счисления с обозначениями (-1,0,+1)=(2,0,1):
Истинно=1, ложно=2 (-1).
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  2  2  2
- 2  2  1 -> x
  2  1  1 
     |

В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе счисления с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  0
  0  0  2 
- 0  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Больше либо равно

Результат по сути является двоичным.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,1)=(1,0,1):
Истинно=1, ложно=1.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, т.е. при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначеениями (-1,0,1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  2
  0  2  2 
- 2  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Меньше

Результат по сути является двоичным.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(1,0,1 ):
Истинно=1, ложно=1.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, т.е. при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  2  2  0
  2  0  0 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Меньше либо равно

Результат по сути является двоичным. В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(1,0,1):
Результат по сути является двоичным.
Истинно=1, ложно=1.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1 
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, т.е. при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
Истинно=2, ложно=0.
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  2  2  2
  2  2  0 
- 2  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Равно

Вычисляется eqv(x,y); x eqv y.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(1,0,1):
Результат по сути является двоичным.
Истинно - 1, ложно - 1.
В виде двухмерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1
     | 

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, т.е. при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
При обозначениях результата: истинно=2, ложно=0.
В виде двухмерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  2
  0  2  0
- 2  0  0 -> x
  | 

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&0&0&2\\1&0&2&0\\0&2&0&0\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Троичная функция отношения

Троичный компаратор с унарным троичным выходом.
Magnitude Function по Стиву Граббу^[23]
С однозначным результатом^[28]
Определяет отношения тритов в разрядах.
Кроме равенства Лукасевича, которое имеет двоичный результат и подобно двоичному равенству, в общей троичной логике появляются троичные функции отношения, которые сразу определяют три возможных отношения операндов — меньше, равно или больше. Так как в двоичной логике результат может принимать только два значения, то в двоичной логике таких функций нет.
Результат изменяется при перемене мест операндов.
В зависимости от порядка следования отношений в результате, может быть несколько разновидностей этой функции. Например (<,=,>), (>,=,<) и экзотические (<,>,=), (>,<,=), (=,<,>) и др.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(1,0,1):
С обозначениями результата (x<y,x=y,x>y) = (<,=,>) = (1,0,1).
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  1  0
- 1  0  1 -> x
  0  1  1
     |

На диаграмме хорошо видна несимметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, т.е. при перемене мест аргументов результат изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
С обозначениями результата (x<y,x=y,x>y) = (<,=,>) = (0,1,2).
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  0  1
  0  1  2 
- 1  2  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

Троичный компаратор с тринарным двоичным выходом

Сравнивает поразрядно триты двух чисел и имеет тринарный двоичный выход: меньше, равно, больше. Является объединением трёх предыдущих отдельных троичных бинарных функций.
Результат изменяется при перемене мест операндов.
true=2, false=0

Минимум (наименьшее)

Вычисляется min(x,y).
В двоичной логике функции min(x, y) соответствует конъюнкция: x ∧ y, x И y, 2И.
Входит в логику Клини.
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(1,0,1):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 1  0  0 -> x
  1  1  1
     |

На диаграмме хорошо видна симметричность по отношению к главной (с наклоном вправо) диагонали, т.е. при перемене мест аргументов результат не изменяется.
В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  0  1  2
  0  1  1 
- 0  0  0 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

      y
      ^
      |
   1  1  1
-  0  0  1 -> x
   1  0  1
      | 

  y
  ^
  |
  2  2  2
  1  1  2 
- 0  1  2 -> x
  |

     y
     ^
     |
  1  1  0
- 0  1  1 -> x
  1  0  1 
     | 

  y
  ^
  |
  2  0  1
  1  2  0
- 0  1  2 -> x
  | 

     y
     ^
     |
  1  0  0
- 1  1  0 -> x 
  1  1  1 
     |

  y
  ^
  |
  0  1  1
  0  0  1 
- 0  0  0 -> x
  |

     y
     ^
     |
  0  1  1
- 1  0  1 -> x
  1  1  0
     |

  y
  ^
  |
  1  2  0
  0  1  2 
- 2  0  1 -> x
  |

     y
     ^
     |
  0  0  1
- 0  0  0 -> x
  1  0  0
     |

  y
  ^
  |
  1  1  2
  1  1  1 
- 0  1  1 -> x
  |

FT2N11502        FT2N6561
  y                y   
  ^                ^   
  |                | 
  0  2  1          0  0  1
  0  1  2          0  0  0 
- 0  0  0 -> x   - 0  0  0 -> x
  |                |      

  FT2N8038
     y
     ^
     |
  2  0  1
- 0  0  0 -> x
  1  0  2 
     |

Импликации

Импликация (от лат. implicatio — сплетение, implico — тесно связываю) — логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если …, то …», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказывание, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) — высказывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в научных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путём ссылки на нечто другое. В современной логике имеется большое число импликаций, различающихся своими формальными свойствами:

• Троичная функция следования Брусенцова
• импликация материальная
• импликация Гейтинга
• импликация Лукасевича

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 0  0  0 -> x
  1  0  0
     |

  y
  ^
  |
  0  1  2
  1  1  1 
- 2  1  1 -> x
  |

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 0  0  1 -> x
  1  1  1
     |

  y
  ^
  |
  0  1  2
  1  1  2 
- 2  2  2 -> x
  |

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 1  1  1 -> x
  1  1  1
     |

  y
  ^
  |
  0  1  2
  0  2  2 
- 2  2  2 -> x
  |

     y
     ^
     |
  1  0  1
- 0  1  1 -> x
  1  1  1
     |

  y
  ^
  |
  0  1  2
  1  2  2 
- 2  2  2 -> x
  |

Сложение по модулю 3 при одном неполном слагаемом

Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы:

  y
  ^
  |
  1  2  0 
- 0  1  2 -> x
  |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы:
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&2&0\\0&0&1&2\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

  y
  ^
  |
  0  0  1 
- 0  0  0 -> x
  |

Троичные подобия двоичной функции Вебба

В троичной логике двоичной функции max(x,y) (OR, V) соответствует троичная функция max(x,y), которая уже не является функцией OR (V).
Так как вращению на 180° - Rot (перевороту, отрицанию, инверсии, негации) (Rot, Not, Inv, Neg) в двоичной логике в троичной логике соответствуют три функции обмена - Swap и две функции вращения - Rot, то в троичной логике существуют пять троичных подобий двоичной функции Вебба равной Not(max(x,y)).

     y
     ^
     |
  0  0  0
- 1  1  0 -> x
  1  1  0  
     | 

  y
  ^
  |
  1  1  1
  2  2  1
- 0  2  1 -> x
  |

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 0  0  1 -> x
  1  0  1  
     | 

  y
  ^
  |
  0  0  0
  1  1  0
- 2  1  0 -> x
  |

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  0  1  1
     | 

  y
  ^
  |
  2  2  2
  0  0  2
- 1  0  2 -> x
  |

     y
     ^
     |
  1  1  1
- 1  1  1 -> x
  0  1  1
     | 

  y
  ^
  |
  0  0  0
  2  2  0
- 1  2  0 -> x
  |

     y
     ^
     |
  0  0  1
- 1  1  0 -> x
  1  1  0  
     | 

  y
  ^
  |
  1  1  0
  0  0  1
- 2  0  1 -> x
  |

/* Результат двухместной (двухоперандной) операции может быть равен результату 
одноместной (одноаргументной) функции, но из этого не следует равенства самой 
одноместной функции и двухместной (двухоперандной) операции. 
RotF(X) и RotB(X) - функции одноместные (одноаргументные), а троичное подобие 
двоичной двухместной (двухаргументной,  двухоперандной) функции Вебба или 
оператора Вебба должно быть, как и в двоичной логике двухместным (двухаргументным,  
двухоперандным).  
Вообще же, для того, что хотят выразить с помощью троичной логики, лучше
подходит четверичная или восмиричная логики, у троичной же логики другое
назначение. */ 

/* RotF(X) - функция одноместная (одноаргументная, однооперандная), автор 
же использует её, как двухместную (двухаргументную, двухоперандную). */

/* Двоичная операция 2И-НЕ (штрих Шеффера - "|") невозможна с троичными операндами RotB и
RotF. Определения же троичного подобия двоичной функции 2И-НЕ (штриху Шеффера - "|") автор не дал. */

/* Прежде, чем брать функцию RotB() нужно дать определение троичного подобия
двоичной функции 2И-НЕ (штриху Шеффера). */ 

/* Прежде, чем брать двоичную функцию Not() от подразумеваемого троичного результата нужно 
дать определение троичного подобия двоичной функции 2ИЛИ-НЕ (стрелке Пирса) или дать определение троичному подобию двоичной функции Not(). */

/* В троичной трёхуровневой системе троичных логических элементов (3-Level LevelCodedTernaty, 
3L LCT) при переходах из состояния +1 в состояние -1 и наоборот потенциал (напряжение)
проходит через состояние 0, что неизбежно приводит к ложным срабатываниям и низкому 
качеству реализации троичных функций. 
В троичной двухуровневой трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов 
(2-Level 3-Bit BinaryCodedTernary UnoUnary, 2L 3B BCT UU, 2L 3B BCT, 3B BCT) в каждой  
отдельной линии фаза переворачивается на ±180° и физических поворотов фазы на +120° и 
-120° нет, но все три состояния логически распознаются и эта система может быть 
логическим подобием троичной системы с поворотами на +120° и -120°. При любых переходах 
перехода через третье состояние не происходит, что повышает качество реализации троичных 
функций.*/

/* Чтобы сделать троичное подобие двоичного поворота на ±180° (Not(X)), автор из 
пяти троичных подобий двоичного Not(X) выбрал только поворот на -120° (RotB()),  
который более подобен двоичному повороту на ±180° (Not), чем неполные обмены только 
двух значений из трёх (Swap'ы), но поворот на +120° (RotF()) не хуже поворота на -120°  
(RotB()), о чём и пишет автор. */

Троичный полусумматор с одним неполным слагаемым

Первая ступень трёхступенчатого полного троичного сумматора.
Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1)=(0,1,2):
В виде таблицы исстинности:

Результат операции занимает 1 и 2/3 троичных разряда.

Бинарное сложение в несимметричной троичной системе счисления (троичный полусумматор)

Бинарное (двухаргументное, двухоперандное) сложение в троичной несимметричной системе счисления, т.е. троичный несимметричный полусумматор.

Троичный полусумматор можно рассматривать, как объединение двух бинарных (двухаргументных, двухоперандных) троичных функций: «сложение по модулю 3 в троичной несимметричной системе счисления» и «разряд переноса при сложении в троичной несимметричной системе счисления».
Так как при сложении в троичной несимметричной системе в разряде переноса не бывает значения больше единицы, то, в отличие от предыдущих бинарных троичных функций с одноразрядным результатом, бинарный результат функции занимает 1 и 1/3 троичных разрядов.
Результат не изменяется при перемене мест аргументов.

или в виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&02&10&11\\1&01&02&10\\0&00&01&02\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Бинарное сложение-вычитание в троичной симметричной системе счисления Фибоначчи

Троичный полусумматор-полувычитатель.

Троичное логическое сложение-вычитание двух троичных разрядов с разрядом переноса в троичной симметричной системе счисления.

Результат не изменяется при перемене мест операндов.

Троичный полусумматор-полувычитатель можно рассматривать, как объединение двух бинарных (двухаргументных, двухоперандных) троичных функций: «младший разряд суммы при сложении-вычитании в троичной симметричной системе счисления» и «разряд переноса при бинарном (двухаргументном, двухоперандном) сложении-вычитании в троичной симметричной системе счисления».

В отличие от сложения и вычитания в троичной несимметричной системе счисления, результат функции занимает 2 полных троичных разряда (трита), так как при сложении-вычитании в троичной симметричной системе в разряде переноса бывают все три значения трита.

В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (−1, 0, +1) = (i, 0, 1):
В виде двух двухаргументных (двухоперандных, двухкоординатных) диаграмм:

  FT2S-4160       FT2S6560   
     y               y
     ^               ^
     |               |    
  0  1  1         0  0  1 
- 1  0  1 -> x  - 0  0  0 -> x
  1  1  0         1  0  0
     |               | 

В виде одной двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграммы:

      y
      ^
      |
  00  01  11
- 01  00  01 -> x
  11  01  00
      |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&00&01&1i\\0&0i&00&01\\i&i1&0i&00\\&i&0&1\end{pmatrix}}}$
В троичной симметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = (2,0,1):
В виде двух двухаргументных (двухоперандных, двухкоординатных) диаграмм:

  FT2N15613       FT2N6563
     y               y     
     ^               ^
     |               | 
  0  1  2         0  0  1 
- 2  0  1 -> x  - 0  0  0 -> x
  1  2  0         2  0  0
     |               |    

В виде одной двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграммы:

      y
      ^
      |
  00  01  12
- 02  00  01 -> x
  21  02  00
      |

В виде таблицы истинности:

В троичной несимметричной системе кодирования с обозначениями (-1,0,+1) = (0,1,2):
В виде двухаргументной (двухоперандной, двухкоординатной) диаграммы:

      y
      ^
      |
  11  12  20
- 10  11  12 -> x
  02  10  11
      |

В виде таблицы истинности:

В виде матрицы
${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&11&12&20\\1&10&11&12\\0&02&10&11\\&0&1&2\end{pmatrix}}}$

Бинарные троичные логические функции с нонарным результатом (выходом)

Всего возможно ${\displaystyle 3^{(3^{2})*9}=3^{81}}$ ≈ ${\displaystyle \ 4,43*10^{38}}$ простейших бинарных троичных функций с нонарным результатом (выходом).