В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.
Пусть — конечная группа, а — простое число, которое делит порядок . Подгруппы порядка называются -подгруппами.
Выделим из порядка группы максимальную степень , то есть , где не делится на . Тогда силовской -подгруппой называется подгруппа , имеющая порядок .
Пусть — конечная группа. Тогда:
Если все делители , кроме 1, после деления на дают остаток, отличный от единицы, то в есть единственная силовская -подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).
Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому не может быть простой.
Пусть — примарный по делитель порядка .
1. Докажем теорему индукцией по порядку . При теорема верна. Пусть теперь . Пусть — центр группы . Возможны два случая:
а) делит . Тогда в центре существует циклическая группа (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в . Факторгруппа по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем , значит, по предположению индукции, в ней существует силовская -подгруппа. Рассмотрим её прообраз в . Он и будет нужной нам силовской -подгруппой .
б) не делит . Тогда рассмотрим разбиение на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок делится на , значит, должен найтись класс , порядок которого не делится на . Соответствующий ему централизатор имеет порядок , . Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская -подгруппа — она и будет искомой.
2. Пусть — произвольная -подгруппа . Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности левыми сдвигами, где — силовская -подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на . Но не делится на , значит, у действия есть неподвижная точка . Получаем , а значит, , то есть лежит целиком в некоторой силовской -подгруппе.
Если при этом — силовская -подгруппа, то она сопряжена с .
3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:NG(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в NG(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем .
Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .