WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Грина-Тао

Пусть ${\displaystyle A}$  — множество простых чисел, и его плотность относительно простых ${\displaystyle \delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}{|{\mathbb {P} }\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}}}$ строго положительна. Тогда для любого ${\displaystyle k\geq 2}$ множество ${\displaystyle A}$ содержит арифметическую прогрессию длины ${\displaystyle k}$ .

Существует константа ${\displaystyle c}$ такая, что если для множества простых чисел ${\displaystyle A\subset \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace }$ выполнено ${\displaystyle |A|>c{\frac {N{\sqrt {{\log _{[5]}}{N}}}}{{\log {N}}{\sqrt {{\log _{[4]}}{N}}}}}}$ , то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Существует константа ${\displaystyle c}$ такая, что для любого множества простых чисел ${\displaystyle A\subset \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace }$ и его плотности ${\displaystyle \delta ={\frac {|A\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}{|{\mathbb {P} }\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}}}$ будет выполнено следствие: если ${\displaystyle N\geq e^{e^{e^{\left({{\left({\frac {c}{\delta ^{2}}}\right)}^{\left({\frac {c}{\delta ^{2}}}\right)}}\right)}}}}$ , то ${\displaystyle A}$ содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.