Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит:
Пусть — целые числа, и . Тогда существует бесконечно много простых чисел таких, что . |
Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.
Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами[1]. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.
При рассмотрении простых довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов, или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.
Например, кроме основного утверждения теоремы Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах и :
где суммирование ведётся по всем простым числам с условием , а — функция Эйлера.
Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов , поскольку
если суммирование ведётся по всем простым числам.
Известно, что для любых взаимопростых чисел и ряд , где суммирование ведётся по простым , расходится.
Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.. — М.: Наука, 1986.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .