WikiSort.ru - Не сортированное

Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.

Определение

• Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие размерности ${\displaystyle m}$ , на котором задано гладкое распределение ${\displaystyle \Delta }$ размерности ${\displaystyle n<m}$ , т.е. в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ задано линейное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}}$ касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$ которое гладко зависит от точки ${\displaystyle x}$ . Подпространства ${\displaystyle \Delta _{x}}$ называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на ${\displaystyle M}$ называются горизонтальными, если они касаются распределения ${\displaystyle \Delta }$ в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).

• Распределение ${\displaystyle \Delta }$ называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ любой вектор касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$ представим в виде линейной комбинации векторов вида

${\displaystyle A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \dots }$

с некоторыми ${\displaystyle A,B,C,D,\dots \in \Delta _{x}}$ . Здесь ${\displaystyle [A,B]}$ означает скобку Ли векторных полей.

• Многообразие ${\displaystyle M}$ с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением ${\displaystyle \Delta }$ называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка ${\displaystyle (M,\Delta ,g)}$ .

Связанные понятия

Примечания

Литература

• Bellaïche, André & Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progress in Mathematics, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, <https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC> 
• Gromov, Mikhael (1996), "Carnot-Carathéodory spaces seen from within", in Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, с. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, <http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf> 
• Le Donne, Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, <https://sites.google.com/site/enricoledonne/LeDonne_subRiemannian.pdf> 
• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.
• Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry
• R.S. Strichartz, Sub-Riemannian geometry, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.