WikiSort.ru - Не сортированное

Количество степеней свободы — это количество значений в итоговом вычислении статистики, способных варьироваться. Иными словами, количество степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин, количество «свободных» величин, необходимых для того, чтобы полностью определить вектор.

Количество степеней свободы может быть не только натуральным, но и любым действительным числом, хотя стандартные таблицы рассчитывают p-value наиболее распространённых распределений только для натурального числа степеней свободы.

Степени свободы распределений

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Теория вероятностей

Пусть ${\displaystyle X_{i}}$  — одномерная случайная величина. Тогда будут верны следующие утверждения о количестве степеней свободы:

• Случайная величина ${\displaystyle S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n-1}}}$ распределена по закону ${\displaystyle \chi ^{2}}$ с ${\displaystyle (n-1)}$ степенями свободы (при этом часто под ${\displaystyle S^{2}}$ подразумевают выборочную дисперсию ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ ).
• Исходя из вышеуказанных обозначений, можно утверждать, что случайная величина ${\displaystyle {\frac {X-{\bar {X}}}{\sqrt {\frac {S^{2}}{n}}}}}$ имеет распределение Стьюдента с ${\displaystyle n-1}$ степенями свободы (${\displaystyle t_{n-1}}$ ) .
• Случайная величина ${\displaystyle {\frac {X-\mathbb {E} (X)}{\sqrt {\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{n}}}}}$ распределена по закону ${\displaystyle \chi ^{2}}$ с ${\displaystyle n}$ степенями свободы.
• Случайная величина ${\displaystyle {\frac {X-\mathbb {E} (X)}{\sqrt {\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}$ распределена по стандартному нормальному закону (${\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)}$ ), где ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$  — истинная дисперсия случайной величины ${\displaystyle X}$ .

Замена случайной величины ${\displaystyle {\bar {X}}(X_{1};\ldots ;X_{n})}$ на её истинное математическое ожидание даёт прибавку в одну степень свободы по следующей причине. Рассмотрим случайную величину ${\displaystyle \xi _{k}=X_{k}-{\bar {X}}}$ . Далее, ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}-\sum \limits _{i=1}^{n}{\bar {X}}=n{\bar {X}}-n{\bar {X}}=0}$ . Следовательно, имеется ${\displaystyle n}$ штук зависимых случайных величин. Поэтому ${\displaystyle n-1}$ штук величин независимы, поэтому в формуле с ${\displaystyle {\bar {X}}}$ в числителе на одну степень свободы меньше, чем в формуле с истинным матожиданием.

Регрессионный анализ

В регрессионном анализе при использовании метода наименьших квадратов сопоставляются наблюдения ${\displaystyle Y_{i}}$ с расчётными значениями ${\displaystyle {\hat {Y}}_{i}}$ (полученными из уравнения регрессии). Если ${\displaystyle {\bar {Y}}}$  — это арифметическое среднее всех наблюдений, то в соответствии с многомерной теоремой Пифагора имеет место равенство:

${\displaystyle \underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}} _{TSS}=\underbrace {\sum \limits _{i}({\hat {Y}}_{i}-{\bar {Y}})^{2}} _{ESS}+\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat {Y}})^{2}} _{RSS}}$

При этом ${\displaystyle TSS}$ (Total Sum of Squares) распределён как ${\displaystyle \chi ^{2}}$ с ${\displaystyle (n-1)}$ степенями свободы, ${\displaystyle ESS}$ (Estimated Sum of Squares; не путать с Error!) распределён как ${\displaystyle \chi ^{2}}$ с одной степенью свободы, ${\displaystyle RSS}$ (Residual Sum of Squares; не путать с Regression!) распределён как ${\displaystyle \chi ^{2}}$ с ${\displaystyle (n-2)}$ степенями свободы.

См. также

• Распределение вероятностей
• Теория вероятностей

В другом языковом разделе есть более полная статья Degrees of freedom (statistics) (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода. При этом, для соблюдения правил атрибуции, следует установить шаблон {{переведённая статья}} на страницу обсуждения, либо указать ссылку на статью-источник в комментарии к правке.

Для улучшения этой статьи по статистике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.