WikiSort.ru - Не сортированное

Выразимость интеграла в элементарных функциях

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

• ${\displaystyle p}$  — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle x=t^{k}}$ , ${\displaystyle k}$  — общий знаменатель дробей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ ;
• ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$  — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{s}}$ , ${\displaystyle s}$  — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$ .
• ${\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}}$  — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle ax^{-n}+b=t^{s}}$ , ${\displaystyle s}$  — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$ .

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

${\displaystyle I={\frac {1}{n}}a^{(m+1)/n+p}b^{-(m+1)/n}\cdot B_{y}\left({\frac {m+1}{n}},p-1\right),}$

где ${\displaystyle y={\frac {b}{a}}x^{n}}$ , а также через гипергеометрическую функцию:

${\displaystyle I={\frac {1}{1+m}}a^{(m+1)/n+p}b^{-(m+1)/n}y^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n}},2-p;1+{\frac {m+1}{n}};y\right).}$