WikiSort.ru - Не сортированное

Невязка — ошибка (погрешность) вычислений.

Пусть требуется найти такое x, что значение функции:

${\displaystyle f(x)=b.}$

Подставив приближенное значение x₀ вместо x, получаем невязку

${\displaystyle b-f(x_{0})}$

а ошибка в этом случае равна

${\displaystyle x_{0}-x.}$

Если точное значение x неизвестно, вычисление ошибки невозможно, однако при этом может быть определена невязка.

Невязка аппроксимации функции

Схожее название используется в дифференциальных, интегральных и функциональных уравнениях.

Для аппроксимации ${\displaystyle f_{\rm {a}}}$ решения ${\displaystyle f}$ уравнения

${\displaystyle T(f)(x)=g(x)}$ ,

невязка может быть функцией

${\displaystyle g(x)~-~T(f_{\rm {a}})(x)}$

или по-другому максимумом нормы разности

${\displaystyle \max _{x\in {\mathcal {X}}}|g(x)-T(f_{\rm {a}})(x)|}$ на области ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ , где функция

${\displaystyle f_{\rm {a}}}$ есть усреднённое решение ${\displaystyle f}$ , или некоторый интеграл функции разности, например,

${\displaystyle \int _{\mathcal {X}}|g(x)-T(f_{\rm {a}})(x)|^{2}~{\rm {d}}x.}$

В большинстве случаев, чем меньше невязка, тем аппроксимированное значение ближе к решению, то есть,

${\displaystyle \left|{\frac {f_{\rm {a}}(x)-f(x)}{f(x)}}\right|\ll 1.}$

В этом случае начальное уравнение принималось за корректное; и невязка могла быть использована как показатель отклонения аппроксимации от точного решения.

Использование невязок

Если точное решение неизвестно, можно использовать аппроксимацию решения с небольшой невязкой.

Невязка фигурирует во многих разделах математики, в том числе в итерационных методах, таких как метод обобщенного минимума, в котором решение системы уравнений находится путём минимизации невязки.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.