WikiSort.ru - Не сортированное

Проблема круга Гаусса — задача определения количества точек целочисленной решётки, попадающих в круг радиуса r с центром в начале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом, в честь него и названа проблема.

Проблема

В круге R² с центром в начале координат радиусом r ≥ 0 необходимо определить количество точек внутри круга, имеющих вид (m,n), где m и n — целые числа. Поскольку в декартовых координатах уравнение круга задается формулой: x² + y² = r², эквивалентной формулировкой задачи станет вопрос: какое количество пар целых чисел m и n удовлетворяет неравенству

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

Если для заданного r обозначить искомое значение через N(r), то следующий список дает значения N(r) для значений целого радиуса r между 0 и 10:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (последовательность A000328 в OEIS).

Границы значений и гипотезы

Поскольку площадь круга радиуса r задается формулой πr², то следовало бы ожидать, что число точек будет около πr². На самом деле значение слегка больше этой величины на некоторую поправку E(r)

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)}$

Поиск верхней границы этой поправки и составляет суть проблемы.

Гаусс показал^[1], что

${\displaystyle E(r)\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

Харди^[2] и, независимо, Эдмунд Ландау нашли меньшее значение границы, показав, что

${\displaystyle E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

в нотации o-малое. Существует гипотеза^[3], что истинное значение равно

${\displaystyle E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

Если переписать последнее выражение в виде |E(r)| ≤ Cr^t, то текущие границы числа t равны

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

где нижняя граница выведена Харди и Ландау в 1915 году, а верхняя доказана Мартином Хаксли (Martin Huxley) в 2000 году^[4].

В 2007 году Силвейн Кэппелл (Sylvain Cappell) и Юлиус Шейнисон (Julius Shaneson) выложили в arXiv статью, содержащую доказательство границы O(r^1/2+ε)^[5].

Точное представление

Значение N(r) можно представить как сумму некоторых последовательностей. Если использовать функцию округления вниз, то значение может быть выражено как^[6]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

Много проще выглядит представление с использованием функции r₂(n), которая определяется как количество способов представить число n в виде суммы двух квадратов. В этом случае^[1]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

Обобщения

Хотя начальная формулировка задачи говорила о целочисленных решетках в круге, нет причин останавливаться только на круге. Можно ставить задачу нахождения числа точек решетки в других фигурах или конусах. «Проблема делителей» Дирихле эквивалентна данной задаче при замене круга гиперболой^[3]. Можно также распространить задачу на большие размерности, и говорить о числе точек внутри n-мерной сферы или другого объекта. Можно отказаться от геометрического представления проблемы и перейти к диофантовым неравенствам.

См. также

• Геометрия чисел

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gauss's Circle Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Викифицировать список литературы.