WikiSort.ru - Не сортированное

Пространство экономических благ

Пусть ${\displaystyle n}$  — число имеющихся благ, пронумерованных от 1 до ${\displaystyle n}$ . Предположим, что все блага являются произвольно делимыми. Каждый потребительский набор описывается вектором ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ . Таким образом, потребительские наборы отождествляем с точками пространства ${\displaystyle R^{n}}$ , которое назовем пространством благ или пространством альтернатив.

Часто пространство благ сужают до определённого множества ${\displaystyle X\subset R^{n}}$ , чаще всего за ${\displaystyle X}$ принимают неотъемлемый ортант ${\displaystyle R_{+}^{n}}$ . Неотъемлемость элементов вектора ${\displaystyle x}$ означает, что каждый товар может присутствовать (${\displaystyle x_{i}>0}$ ) или отсутствовать (${\displaystyle x_{i}=0}$ ) в потребительском наборе, но не рассматриваются ситуации, когда потребитель избавляется от определенного количества товара.

Существуют две традиции построения системы предпочтений. Первая основана на отношении нестрогого (слабого) предпочтения, вторая — на отношении строго предпочтения.

Отношение слабого (нестрогого) предпочтения

Отношение (слабого, нестрогого) предпочтения ${\displaystyle \succeq }$ является бинарным полным (линейным) отношением предпорядка на пространстве экономических благ ${\displaystyle X}$ , то есть обладает свойствами:

• Полнота: ${\displaystyle \forall x,y\in X,x\succeq y\lor y\succeq x}$

• Транзитивность: ${\displaystyle \forall x,y,z\in X}$ выполняется ${\displaystyle x\succeq y\land y\succeq z=>x\succeq z}$

Из этих двух свойств непосредственно следует также рефлексивность этого отношения, то есть ${\displaystyle \forall x\in X,x\succeq x}$ .

Пара ${\displaystyle (X,\succeq )}$ называется полем преимуществ. Запись ${\displaystyle x\succeq y}$ означает, что потребитель предпочитает набор ${\displaystyle x}$ по сравнению с набором ${\displaystyle y}$ или эти наборы являются равноценными для потребителя; читается так: «${\displaystyle x}$ преобладает над (или не хуже, слабо предпочтительнее) ${\displaystyle y}$ », «${\displaystyle x}$ слабо преобладает над ${\displaystyle y}$ » или «${\displaystyle x}$ не хуже ${\displaystyle y}$ ».

Отношение строгого предпочтения

Отношение строгого предпочтения ${\displaystyle x\succ y}$ определяется как бинарное отношение строгого порядка на пространстве экономических благ. Его можно определить двумя эквивалентными способами:

1. Асимметричность и отрицательная транзитивность:

• Асимметричность, то есть если верно ${\displaystyle x\succ y}$ , то неверно ${\displaystyle y\succ x}$

• Отрицательная транзитивность, то есть если одновременно не верно ${\displaystyle x\succ y}$ и ${\displaystyle y\succ z}$ , то не верно и ${\displaystyle x\succ z}$

2. Иррефлексивность и транзитивность

• Иррефлексивнность, то есть не существует такого ${\displaystyle x\in X}$ , что ${\displaystyle x\succ x}$

• Транзитивность: ${\displaystyle x\succ y\land y\succ z=>x\succ z}$

Запись ${\displaystyle x\succ y}$ означает, что набор ${\displaystyle x}$ для потребителя лучше набора ${\displaystyle y}$ , читается как «x строго преобладает над y», «x лучше y».

Отношение безразличия

Отношение безразличия ${\displaystyle x\sim y}$ определяется как отношение эквивалентности на пространстве экономических благ, то есть удовлетворяет следующим аксиомам:

• Рефлексивность: ${\displaystyle \forall x,x\sim x}$

• Симметричность: ${\displaystyle \forall x,y,x\sim y<=>y\sim x}$

• Транзитивность: ${\displaystyle \forall x,y,z,x\sim y\land y\sim z<=>x\sim z}$

Запись ${\displaystyle x\sim y}$ означает, что эти наборы являются равноценными для потребителя, читается как «x равноценно y», «x находится в отношении безразличия к y».

Как и любое отношение эквивалентности, отношение безразличия разбивает пространство благ на непересекающиеся классы безразличия, каждый из которых состоит из попарно эквивалентных (безразличных) наборов.

Необходимо отметить, что определенное таким образом отношение безразличия может выделить весьма неоднородные классы эквивалентности. Во-первых, это могут быть реально (с точки зрения потребителя) эквивалентные наборы. Во-вторых, это могут быть несравнимые альтернативы, которые в таком случае формально между ними будет иметь место отношение безразличия (ибо нет критерия по которому можно предпочесть один из несравнимых наборов). В третьих, безразличие также может быть связано с отсутствием достаточной информации об альтернативах.

Неоклассическая система предпочтений

Система предпочтений (${\displaystyle \sim ,\succ ,\succeq }$ ), включающая в себя определенные выше отношение безразличия, строгое и нестрогое отношения предпочтения называется неоклассической, если они взаимосвязаны «естественным» образом. В случае, если за основу взять строгое отношение предпочтения, то эту взаимосвязь можно выразить следующим образом:

1. Нестрогое предпочтение эквивалентно отрицанию обратного строгого предпочтения (то есть ${\displaystyle x}$ «не хуже» ${\displaystyle y}$ эквивалентно тому, что ${\displaystyle y}$ не «лучше» ${\displaystyle x}$ )

2. Отношение безразличия эквивалентно отрицанию прямого и обратного строгих предпочтений (то есть безразличие означает, что ${\displaystyle x}$ не «лучше» и не «хуже» ${\displaystyle y}$ ).

Если же за основу брать нестрогое отношение предпочтения, то соответственно

1. Строгое предпочтение эквивалентно тому, что имеет место нестрогое предпочтение и неверно обратное нестрогое предпочтение, то есть: ${\displaystyle x\succ y<=>x\succeq y\land \lnot (y\succeq x)}$ .

2. Отношение безразличия эквивалентно одновременной справедливости «прямого» и «обратного» отношения нестрогого предпочтения: ${\displaystyle x\sim y<=>x\succeq y\land y\succeq x}$

Для неоклассических предпочтений выполнены следующие свойства

• ${\displaystyle \forall x,y\in X}$ выполняется ровно одно из отношений ${\displaystyle x\sim y,x\succ y}$ или ${\displaystyle y\succ x}$ .

• ${\displaystyle x\succeq y\land y\succ z=>x\succ z}$
• ${\displaystyle x\succ y\land y\succeq z=>x\succ z}$