WikiSort.ru - Не сортированное

Предпорядки

Категория ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ называется предпорядком, если для любых двух объектов ${\displaystyle a,b\in Ob{\mathcal {P}}}$ существует не более одного морфизма ${\displaystyle f\colon a\to b.}$ Если ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:

${\displaystyle a\leqslant b\iff \exists f\colon a\to b}$

Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — это абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру.

• Предпорядок — это скелетная категория.
• Если малая категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань.
• Произведение набора (множества, класса и т. п.) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань.
• Начальный объект ${\displaystyle 0}$ в предпорядке ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ , если он существует, — это его наименьший объект, так что ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\leqslant a}$ . Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.

Категория предпорядков

Категория предпорядков обозначается обычно ${\displaystyle \mathbf {Preord} .}$ Объектами категории предпорядков являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Рассмотрим в ${\displaystyle \mathbf {Preord} }$ подкатегорию малых предпорядков ${\displaystyle \mathbf {Preord} _{S}}$ . Это конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором

${\displaystyle U\colon \mathbf {Preord} _{S}\to \mathbf {Set} }$ ,

сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в ${\displaystyle \mathbf {Preord} .}$ Таким образом, аналогично ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ , начальным объектом в ${\displaystyle \mathbf {Preord} }$ является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением.