WikiSort.ru - Не сортированное

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа ${\displaystyle G}$ такая, что для любого элемента ${\displaystyle g\neq 1}$ найдётся гомоморфизм ${\displaystyle h\colon G\to F}$ в конечную группу ${\displaystyle F}$ , удовлетворяющий условию ${\displaystyle h(g)\neq 1}$ .

Примеры

• Любая конечная группа остаточно конечна;
• Любая свободная группа остаточно конечна;
• Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
• Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна.
• Группа Баумслага — Солитера ${\displaystyle BS(m,n)}$ остаточно конечна тогда и только тогда когда ${\displaystyle |m|=1}$ , ${\displaystyle |n|=1}$ , или ${\displaystyle |m|=|n|}$ ^[1]

Свойства

• Теорема Мальцева.^[2] Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
• Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
• Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
• Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
  • В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
• Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.

Литература

1. ↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups.
2. ↑ A. I. Mal'cev, "On the faithful representation of infinite groups by matrices" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 45 (1965) pp. 1–18