WikiSort.ru - Не сортированное

Уравнение Дирака

Математически фермионы со спином 1/2 описываются уравнением Дирака вида

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi (x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi (x,t)}$

где m — масса частицы, а матрицы α и β удовлетворяют антикоммутационным соотношениям {α_i, α_j}=2δ_ij, {α_i, β}=0, β²=1. Так как выбор этих матриц неоднозначен, то их можно выбрать в виде

${\displaystyle \alpha _{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{1}\\\sigma _{1}&0\end{pmatrix}},{\text{ }}\alpha _{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{3}\\\sigma _{3}&0\end{pmatrix}},{\text{ }}\alpha _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},{\text{ }}\beta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}.}$

При этом уравнение сопряжённое уравнению Дирака не меняется:

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi ^{*}(x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi ^{*}(x,t)}$

Решение сопряжённого уравнения Дирака соответствует частица, которая является своей собственной античастицей ${\displaystyle \psi ^{*}=\psi }$ и называется майорановским фермионом^[9].

Игрушечная модель Китаева

Алексей Китаев^[17] предложил рассмотреть гамильтониан бесспинового p-волнового сверхпроводника в терминах вторичного квантования

${\displaystyle H_{K}=\sum _{j=1}^{N}\left(-t(a_{j}^{\dagger }a_{j+1}+a_{j+1}^{\dagger }a_{j})-\mu \left(a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}\right)+\Delta e^{i\theta }a_{j}a_{j+1}+\Delta e^{-i\theta }a_{j+1}^{\dagger }a_{j}^{\dagger }\right)}$

где t — интеграл перескока, μ — химический потенциал, Δ и θ — амплитуда и фаза параметра порядка. Можно ввести следующие майорановские фермионные операторы для этой задачи ${\displaystyle c_{2j-1}=e^{i\theta /2}a_{j}+e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle c_{2j}=-i\left(e^{i\theta /2}a_{j}-e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }\right)}$ , которые приводят к новому виду гамильтониана

${\displaystyle H_{K}={\frac {-i}{2}}\sum _{j=1}^{N}\mu c_{2j-1}c_{2j}+{\frac {i}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}[(t+\Delta )c_{2j}c_{2j+1}+(-t+\Delta )c_{2j-1}c_{2j+2}]}$

Теперь рассмотрим два предельных случая что проиллюстрировано на рис. 1: в первом случае химический потенциал меньше нуля, μ<0, а остальные параметры обращаются в ноль, Δ=t=0. Тогда спаривание полуфермионов в фермионы происходит тривиальным образом для каждого узла цепочки. Во втором случае, когда химический потенциал равен нулю, μ=0, а интеграл перескока и параметр порядка равны, Δ=t>0, то сумма превращается в слагаемые спаривающие полуфермионы в соседних узлах, причём крайние полуфермионы выпадают из суммы и образуют дважды вырожденный уровень при нуле энергии. Эти два узла можно превратить в обычный фермион сильно нелокальной природы ${\displaystyle f=1/2(c_{1}+ic_{N})}$ . А гамильтониан приобретает обычный диагональный вид при преобразовании ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}+ic_{2j+1})}$ , ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}-ic_{2j+1})}$ :

${\displaystyle H_{t}=2t\sum _{j=1}^{L-1}\left(d_{j}^{\dagger }d_{j}-{\frac {1}{2}}\right).}$

Фактически эта задача не имеет отношения к реальности, но показывает как получить майорановские связные состояния и какой гамильтониан во взаимодействующей системе должен появиться.

Полупроводниковые нанопроволоки

В работах 2010 года^[18][19] наметился путь реализации майорановских фермионов на практике. Основное достижение заключалось в понимании влияния различных эффектов на майорановские связные состояния. В работе^[18] рассматривался гамильтониан (постоянная Планка равна единице) вида

${\displaystyle H=\int \Psi ^{\dagger }\left[\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)\tau _{z}\otimes \sigma _{0}+\alpha k\tau _{z}\otimes \sigma _{z}+\Delta _{Z}\tau _{0}\otimes \sigma _{x}+\Delta _{sc}\tau _{x}\otimes \sigma _{0}\right]\Psi dy,}$  (1)

где волновая функция имеет вид ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }=(\psi _{\uparrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow },-\psi _{\uparrow })}$ . Первое слагаемое в подинтегральном выражении отвечает за кинетическую энергию частиц с учётом химического потенциала, второе — спин-орбитальное взаимодействие, третье — зеемановская энергия, четвёртое — сверхпроводимость. Нанопроволока ориентирована в направлении y, спин-орбитальное взаимодействие вдоль x, а магнитное поле вдоль z. Матрицы Паули ${\displaystyle \sigma }$ , ${\displaystyle \tau }$ действуют в спиновом пространстве и в пространстве частиц-античастиц. Индекс 0 отвечает за единичную матрицу. Гамильтониан имеет собственные значения вида

${\displaystyle E_{\pm }^{2}=\Delta _{Z}^{2}+\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+(\alpha k)^{2}\pm 2{\sqrt {\Delta _{Z}^{2}\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}\left((\alpha k)^{2}+\Delta _{Z}^{2}\right)}}.}$  (2)

Вблизи нуля волнового вектора возникает запрещённая зона ${\displaystyle \Delta =|\Delta _{Z}-{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}|}$ . Когда выполняется условие ${\displaystyle \Delta _{Z}>{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}}$ говорят о возникновении топологически нетривиальной фазы, а точка, где ширина зоны равна нулю — точкой топологического фазового перехода. Она разделяет топологически тривиальную и нетривиальную фазы. Когда выполняется условие на существование топологически нетривиальной фазы на обоих краях нанопроволоки возникают майорановские связанные состояния при нуле энергии. На рис. 2 показано как возникает четыре ветви дисперсионных соотношений из ур. 2 при последовательном включении взаимодействий. Спин-орбитальное взаимодействие вида αk приводит к расщеплению параболического закона дисперсии для нанопроволоки. При добавлении сверхпроводимости добавляется электрон-дырочная симметрия, что удваивает количество дисперсионных кривых и возникает сверхпроводящая щель ${\displaystyle \Delta _{sc}}$ в спектре возбуждений. При приложении магнитного поля появляется зеемановское расщепление уровней ${\displaystyle \Delta _{Z}}$ , которое работает против сверхпроводимости и закрывает щель. При равенстве ${\displaystyle \Delta _{Z}=\Delta _{sc}}$ (химический потенциал ${\displaystyle \mu =0}$ ) достигается точка фазового перехода и щель пропадает, но при дальнейшем увеличении магнитного поля щель появляется вновь. Эта щель соответствует состоянию топологической сверхпроводимости^[18].