WikiSort.ru - Не сортированное

Для любой функции ${\displaystyle f}$ , определённой на множестве ${\displaystyle E}$ , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ${\displaystyle \omega _{f}(\delta )}$ . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\in E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},}$

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из ${\displaystyle E}$ длиной меньше ${\displaystyle \delta }$ . Также в литературе встречаются другие обозначения: ${\displaystyle \omega (f,\;\delta )}$ и (реже) ${\displaystyle \omega (\delta ,\;f)}$ .

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом ${\displaystyle \delta }$ она неотрицательна.
• Функция не убывает.
• Функция полуаддитивна, если ${\displaystyle E}$ выпукло:

  ${\displaystyle \omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2}).}$

• По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:

  ${\displaystyle \omega _{f}(0){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}0.}$

• Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция ${\displaystyle f}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ и непрерывна на нём, то ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}{\omega _{f}(\delta )}=0}$ , и наоборот. Данный предел обозначается также ${\displaystyle \omega _{f}(0+)}$ .
• Если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,\;b]}$ , то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке ${\displaystyle [0,\;b-a]}$ .

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
• гладкость;
• дифференцируемость;
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
• и многих других.

Вариации и обобщения

Ссылки

• Модуль непрерывности и обобщенные пространства Гёльдера

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.