WikiSort.ru - Не сортированное

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/4 декабря 2018. Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или немотивированного удаления содержания, подробнее см. руководство к дальнейшему действию. Не снимайте пометку о выставлении на удаление до окончания обсуждения. Последнее изменение сделано участником Wanderer777 (вклад, журналы) в 11:17, 4 декабря 2018 (UTC; около 89 дней назад). Администраторам: ссылки сюда, история, журналы, удалить.

Лемма о липшицевости — теорема, утверждающая что из существования непрерывной производной непрерывной функции по некоторой переменной следует, что эта функция удовлетворяет условию Липшица по этой переменной. Обратное утверждение неверно. Из липшицевости функции по некоторой переменной не следует существование производной по этой переменной.

Формулировка

Пусть функция двух переменных ${\displaystyle f(x,\;y)}$ , заданная в открытой области ${\displaystyle G=\left\{(x,\;y),\;a<x<b,\;c<y<d\right\}}$ , непрерывна и обладает непрерывной производной ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ в ${\displaystyle G}$ . Тогда на любом ограниченном подмножестве ${\displaystyle M}$ из ${\displaystyle G}$ , замыкание которого принадлежит ${\displaystyle G}$ , функция ${\displaystyle f(x,\;y)}$ удовлетворяет условию Липшица: ${\displaystyle \left|f(x,\;y_{1})-f(x,\;y_{2})\right|\leqslant L\left|y_{1}-y_{2}\right|,\ (x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})\in M}$ , где постоянная ${\displaystyle L}$ зависит, вообще говоря от ${\displaystyle M}$ .

Доказательство

Возьмём в качестве ${\displaystyle M}$ прямоугольник ${\displaystyle P=\left\{(x,\;y)\colon \left|x-x_{0}\right|\leqslant a,\ \left|y-y_{0}\right|\leqslant b\right\}}$ с центром в точке ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ , целиком содержащийся в области ${\displaystyle G}$ ^[1]. Тогда по теореме Лагранжа о среднем для любых точек ${\displaystyle (x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})\in P\colon \left|f(x,\;y_{1})-f(x,\;y_{2})\right|=\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;\eta )\right|\cdot \left|y_{1}-y_{2}\right|\leqslant L\left|y_{1}-y_{2}\right|}$ , где ${\displaystyle L=\max _{(x,\;y)\in P}\left|{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|}$ .

По существу, так же проходит доказательство, если в качестве ${\displaystyle M}$ взять ограниченную открытую подобласть ${\displaystyle G'}$ области ${\displaystyle G}$ , выпуклую относительно ${\displaystyle y}$ , замыкание которой принадлежит ${\displaystyle G\colon {\bar {G'}}\subset G}$ . Выпуклость ${\displaystyle G'}$ относительно ${\displaystyle y}$ означает, что если точки ${\displaystyle (x,\;y_{1}),\ (x,\;y_{2})}$ принадлежат ${\displaystyle G'}$ , то точка ${\displaystyle (x,\;\eta )}$ , где ${\displaystyle \eta }$  — число, промежуточное между ${\displaystyle y_{1}}$ и ${\displaystyle y_{2}}$ , также принадлежит ${\displaystyle G'}$ . Поэтому можно вновь применить теорему Лагранжа о среднем.

См. также

• Условие Липшица
• Теорема Лагранжа о среднем значении

Примечания