WikiSort.ru - Не сортированное

Колесо (от англ. Wheel theory, иногда «ролик»^[1]) — тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены на колесо, как и любое коммутативное кольцо.

Сфера Римана также может быть расширена до колеса путем присоединения элемента ${\displaystyle \bot }$ , где ${\displaystyle 0/0=\bot }$ . Сфера Римана является расширением комплексной плоскости элементом ${\displaystyle \infty }$ , где ${\displaystyle z/0=\infty }$ для любых комплексных ${\displaystyle z\neq 0}$ . Однако ${\displaystyle 0/0}$ не определен в сфере Римана, но определяется в её расширении до колеса.

Термин колесо вдохновлен топологической пиктограммой ${\displaystyle \odot }$ , обозначающей проективную линии вместе с дополнительной точкой ${\displaystyle \bot =0/0}$ .^[2]

Определение

Колесо — это алгебраическая структура ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$ , удовлетворяющая:

• Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, а ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ представляют собой их нейтральные элементы.
• ${\displaystyle //x=x}$
• ${\displaystyle /(xy)=/x/y}$
• ${\displaystyle xz+yz=(x+y)z+0z}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

Алгебра колес

Колеса заменяют традиционное деление (бинарный оператор, обратный к умножению) на унарный оператор, применяющийся к одному аргументу: «${\displaystyle /x}$ ». Это похоже на определение обратного числа ${\displaystyle x^{-1}}$ , но не идентично ему. В колесах ${\displaystyle a/b}$ становится краткой записью для ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ и изменяет правила таких алгебр так, что

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$ в общем случае
• ${\displaystyle x-x\neq 0}$ в общем случае
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$ в общем случае, поскольку ${\displaystyle /x}$ не совпадает с мультипликативно обратным числом для ${\displaystyle x}$ .

Если существует элемент ${\displaystyle a}$ такой, что ${\displaystyle 1+a=0}$ , то становится возможным определить отрицание (противоположное число) ${\displaystyle -x=ax}$ и вычитание ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ .

Некоторые следствия:

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$

Тогда для ${\displaystyle x}$ при ${\displaystyle 0x=0}$ и ${\displaystyle 0/x=0}$ получаем привычные

• ${\displaystyle x-x=0}$
• ${\displaystyle x/x=1}$

Примечания

Ссылки

• Setzer, Anton (1997), Wheels, <http://www.cs.swan.ac.uk/~csetzer/articles/wheel.pdf>  (проект)
• Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science (Cambridge University Press) . — Т. 14 (1): 143–184, DOI 10.1017/S0960129503004110  (также онлайн версия).
• Евгений Капи́нос. Делить на ноль — это норма. Часть 1 , Часть 2, 2015  (рус.)

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.