WikiSort.ru - Не сортированное

Формулировка

Если ${\displaystyle f}$ голоморфна в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ и существует точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$ такая, что во всей области ${\displaystyle G}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(z_{0})|\geqslant |f(z)|}$ , то ${\displaystyle f(z)\equiv \mathrm {const} }$ .

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области ${\displaystyle G}$ .

Следствия

• Принцип минимума модуля. Если ${\displaystyle f}$ аналитична в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ , не обращается там в нуль, и существует точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$ такая, что во всей области ${\displaystyle G}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(z_{0})|\leqslant |f(z)|}$ , то ${\displaystyle f(z)\equiv \mathrm {const} }$ . (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
• Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}\in G}$ достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция ${\displaystyle f(z)}$ есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций ${\displaystyle e^{f(z)}}$ и ${\displaystyle e^{if(z)}}$ , а также равенство ${\displaystyle \left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm {Re} \,f(z)}}$ .)

• Пусть ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$  — компактное подмножество. Для всякой функции ${\displaystyle f}$ , непрерывной на ${\displaystyle K}$ и аналитичной внутри ${\displaystyle K}$ , выполнено равенство:

${\displaystyle \|f\|_{K}=\|f\|_{\partial K}.}$

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта ${\displaystyle K}$ , тогда она сходится равномерно на всём ${\displaystyle K}$ .

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 3 июля 2012 года.