WikiSort.ru - Не сортированное

Временные характеристики

Переходная функция:

${\displaystyle h(t)=k(1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}})}$

Весовая функция:

${\displaystyle w(t)={\frac {k}{T}}\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{T}}}}$

Передаточная функция

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

${\displaystyle TsY(s)+Y(s)=kX(s)}$ ,

${\displaystyle Y(s)[Ts+1]=X(s)k}$ .

${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {k}{Ts+1}}}$

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо ${\displaystyle s}$ комплексной переменой ${\displaystyle j\omega }$ .

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число ${\displaystyle (1-j\omega T)}$ :

${\displaystyle W(j\omega )={\frac {k}{1+j\omega T}}\cdot {\frac {1-j\omega T}{1-j\omega T}}={\frac {k-j\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}={\frac {k}{1+\omega ^{2}T^{2}}}-j{\frac {\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm {Re} \left\{W(j\omega )\right\}={\frac {k}{1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm {Im} \left\{W(j\omega )\right\}=-{\frac {\omega Tk}{1+\omega ^{2}T^{2}}}}$

АФЧХ

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

${\displaystyle W(s)={\frac {2}{0.1s+1}}}$

ЛАФЧХ

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот ${\displaystyle \omega <{\frac {1}{T}}}$ проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена ${\displaystyle k}$ . Колебания частот ${\displaystyle \omega >{\frac {1}{T}}}$ проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени ${\displaystyle T}$ , а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени ${\displaystyle T}$ , тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями.

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности и т. д.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.^[1]