WikiSort.ru - Не сортированное

В теории информации энтропия Реньи — обобщение энтропии Шеннона — является семейством функционалов, используемых в качестве меры количественного разнообразия, неопределённости или случайности некоторой системы. Названа в честь Альфреда Реньи. Другое название ${\displaystyle \alpha }$ -энтропия.

Если некоторая система имеет дискретное множество доступных состояний ${\displaystyle X=\{x_{1},...,x_{n}\}}$ , которому соответствует распределение вероятностей ${\displaystyle p_{i}}$ для ${\displaystyle i=1,...,n}$ (т. е. ${\displaystyle p_{i}}$ — вероятности пребывания системы в состояниях ${\displaystyle x_{i}}$ ), тогда энтропия Реньи с параметром ${\displaystyle \alpha }$ (при ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ и ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ ) системы определяется как

${\displaystyle H_{\alpha }(X)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha }={\frac {1}{1-\alpha }}\log {\Big \langle }p^{\alpha -1}{\Big \rangle }}$ ,

где угловыми скобками обозначено математическое ожидание по распределению ${\displaystyle p_{i}}$ (${\displaystyle p}$ — вероятность пребывания системы в некотором состоянии как случайная величина), логарифм берётся по основанию 2 (для счёта в битах) либо по другому удобному основанию (оно должно быть больше 1). Основание логарифма определяет единицу измерения энтропии. Так, в математической статистике обычно используется натуральный логарифм.

Если все вероятности ${\displaystyle p_{i}=1/n}$ , тогда при любом ${\displaystyle \alpha }$ энтропия Реньи ${\displaystyle H_{\alpha }(X)=\log n}$ . Иначе ${\displaystyle \alpha }$ -энтропия убывает как функция ${\displaystyle \alpha }$ . Притом более высокие значения ${\displaystyle \alpha }$ (уходящие в бесконечность) дают энтропии Реньи значения, которые в большей степени определены лишь самыми высокими вероятностями событий (т. е. вклад в энтропию маловероятных состояний уменьшается). Промежуточный случай ${\displaystyle \alpha =1}$ в пределе даёт энтропию Шеннона, которая обладает особыми свойствами. Более низкие значения ${\displaystyle \alpha }$ (стремящиеся к нулю), дают значение энтропии Реньи, которое взвешивает возможные события более равномерно, менее зависимо от их вероятностей. А при ${\displaystyle \alpha =0}$ получаем максимально возможную ${\displaystyle \alpha }$ -энтропию, равную ${\displaystyle \log n}$ независимо от распределения (лишь бы ${\displaystyle p_{i}\neq 0}$ ).

Смысл параметра ${\displaystyle \alpha }$ можно описать, говоря неформальным языком, как восприимчивость функционала к отклонению состояния системы от равновесного: чем больше ${\displaystyle \alpha }$ , тем быстрее уменьшается энтропия при отклонении системы от равновесного состояния. Смысл ограничения ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ заключается в том, чтобы обеспечивалось увеличение энтропии при приближении системы к равновесному (более вероятному) состоянию. Это требование является естественным для понятия энтропия. Следует заметить, что для энтропии Цаллиса, которая эквивалентна энтропии Реньи с точностью до не зависящего от ${\displaystyle X}$ монотонного преобразования, соответствующее ограничение часто опускают, при этом для отрицательных значений параметра вместо максимизации энтропии используют её минимизацию.

Энтропия Реньи играет важную роль в экологии и статистике, определяя т. н. индексы разнообразия. Энтропия Реньи также важна в квантовой информации, она может быть использована в качестве меры сложности. В цепочке Гейзенберга ${\displaystyle XY}$ энтропия Реньи была рассчитана в терминах модулярных функций, зависящих от ${\displaystyle \alpha }$ . Они также приводят к спектру показателей фрактальной размерности.

H_α для некоторых конкретных значений α

Расхождения (дивергенции) Реньи

Как и абсолютные энтропии Реньи, Реньи определил спектр мер расхождений (дивергенций), обобщающих расхождение Кульбака—Лейблера. Формулы данного раздела записаны в общем виде — через логарифм по произвольному основанию. Поэтому нужно понимать, что каждая приведённая формула представляет собой семейство эквивалентных функционалов, определённых с точностью до постоянного (положительного) множителя.

Расхождение Реньи с параметром ${\displaystyle \alpha }$ , где ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ , распределения ${\displaystyle Q}$ относительно распределения ${\displaystyle P}$ (или «расстояние от ${\displaystyle P}$ до ${\displaystyle Q}$ ») определяется как

${\displaystyle D_{\alpha }(P\|Q)={\frac {1}{\alpha -1}}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha }q_{i}^{1-\alpha }={\frac {1}{\alpha -1}}\log {\Big \langle }(p/q)^{\alpha -1}::P{\Big \rangle }}$

или (формально, без учёта нормировки вероятностей)

${\displaystyle D_{\alpha }(P\|Q)=-H_{\alpha }{\Bigg (}{\frac {p}{q^{1-1/\alpha }}}{\Bigg )}}$ ,

${\displaystyle H_{\alpha }(P)=-D_{\alpha }(P\|1)}$ .

Как расхождение Кульбака—Лейблера, расхождение Реньи является неотрицательным для ${\displaystyle \alpha >0}$ . Это расхождение также известно как альфа-расхождение (${\displaystyle \alpha }$ -дивергенция).

Почему случай ${\displaystyle \alpha =1}$ особенный^{[уточнить]}

Значение ${\displaystyle \alpha =1}$ , которое соответствует энтропии Шеннона и расхождению Кульбака—Лейблера, является особенным, потому что только в этом случае можно выделить переменные A и X из совместного распределения вероятностей, такие что справедливо

${\displaystyle H(A,X)=H(A)+\mathbb {E} _{p(a)}\{H(X|a)\}}$

для энтропии, и

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(p(x|a)p(a)||m(x,a))=\mathbb {E} _{p(a)}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|a)||m(x|a))\}+D_{\mathrm {KL} }(p(a)||m(a))}$ —

для дивергенции.

Последнее означает, что если мы будем искать распределение ${\displaystyle p(x,a)}$ , которое сводит к минимуму расхождения некоторых основополагающих мер ${\displaystyle m(x,a)}$ , и получим новую информацию, которая влияет только на распределение ${\displaystyle a}$ , то распределение ${\displaystyle p(x|a)}$ не будет зависеть от изменений ${\displaystyle m(x|a)}$ .

В общем случае расхождения Реньи с произвольными значениями ${\displaystyle \alpha }$ удовлетворяют условиям неотрицательности, непрерывности и инвариантности относительно преобразования координат случайных величин. Важным свойством любых энтропии и дивергенции Реньи является аддитивность: когда ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$ независимы, из ${\displaystyle p(A,X)=p(A)p(X)}$ следует

${\displaystyle H_{\alpha }(A,X)=H_{\alpha }(A)+H_{\alpha }(X)}$

и

${\displaystyle D_{\alpha }(P(A)P(X)\|Q(A)Q(X))=D_{\alpha }(P(A)\|Q(A))+D_{\alpha }(P(X)\|Q(X))}$ .

Наиболее сильные свойства случая ${\displaystyle \alpha =1}$ , которые предполагают определение условной информации и взаимной информации из теории связи, могут быть очень важны в других приложениях или совершенно неважны, в зависимости от требований этих приложений.

Перекрёстная энтропия Реньи

Перекрёстная энтропия ${\displaystyle H_{\alpha }(P,Q)}$ от двух распределений с вероятностями ${\displaystyle p_{i}}$ и ${\displaystyle q_{i}}$ (${\displaystyle i=1,...,n}$ ) в общем случае может определяться по-разному (в зависимости от применения), но должна удовлетворять условию ${\displaystyle H_{\alpha }(P,P)=H_{\alpha }(P)}$ . Один из вариантов определения (аналогичным свойством обладает перекрёстная энтропия Шеннона):

${\displaystyle H_{\alpha }(P,Q)=H_{\alpha }(P)+D_{\alpha }(P,Q)}$ .

Другое определение, предложенное А. Реньи, может быть получено из следующих соображений. Определим эффективное количество состояний системы как среднее геометрическое взвешенное от величин ${\displaystyle 1/q_{i}}$ с весами ${\displaystyle p_{i}}$ :

${\displaystyle {\overline {n}}=\prod _{i=1}^{n}(1/q_{i})^{p_{i}}}$ .

Отсюда следует выражение для перекрёстной энтропии Шеннона

${\displaystyle H(P,Q)=\log {\overline {n}}=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log q_{i}}$ .

Рассуждая аналогичным образом, определим эффективное количество состояний системы как среднее степенное взвешенное от величин ${\displaystyle 1/q_{i}}$ с весами ${\displaystyle p_{i}}$ и параметром ${\displaystyle 1-\alpha }$ :

${\displaystyle {\overline {n}}=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}(1/q_{i})^{1-\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}q_{i}^{\alpha -1}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$ .

Таким образом, перекрёстная энтропия Реньи имеет вид

${\displaystyle H_{\alpha }(P,Q)=\log {\overline {n}}={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{n}p_{i}q_{i}^{\alpha -1}={\frac {1}{1-\alpha }}\log {\Big \langle }q^{\alpha -1}::P{\Big \rangle }}$ .

• Нетрудно видеть, что в случае, если распределения вероятностей ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ совпадают, перекрёстная энтропия Реньи совпадает с энтропией Реньи.
• Также при ${\displaystyle \alpha \to 1}$ перекрёстная энтропия Реньи сходится к перекрёстной энтропии Шеннона.
• Свойство ${\displaystyle H(P,Q)=H(P)+D_{KL}(P\|Q)\geq H(P)}$ , справедливое для перекрёстной энтропии Шеннона, в общем случае не имеет места. Перекрёстная энтропия Реньи может быть как больше, так и меньше энтропии Реньи.

Непрерывный случай

Для формального обобщения энтропии Шеннона на случай непрерывного распределения служит понятие дифференциальная энтропия. Совершенно аналогично определяется дифференциальная энтропия Реньи:

${\displaystyle H_{\alpha }(f)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \int \limits _{X}^{}{f^{\alpha }(x)}dx}$ .

Расхождение (дивергенция) Реньи в непрерывном случае также является обобщением расхождения Кульбака—Лейблера и имеет вид

${\displaystyle D_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{\alpha -1}}\log \int \limits _{X}^{}{g^{\alpha }(x)f^{1-\alpha }(x)}dx}$ .

Определение перекрёстной энтропии, предложенное А. Реньи, в непрерывном случае имеет вид

${\displaystyle H_{\alpha }(g,f)={\frac {1}{1-\alpha }}\log \int \limits _{X}^{}{g(x)f^{\alpha -1}(x)}dx}$ .

В приведённых формулах ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ — некоторые функции плотности распределения вероятностей, определённые на интервале ${\displaystyle X\subseteq R}$ , и полагается ${\displaystyle \alpha >0}$ , ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ .

Литература

• A. Rényi (1961). "On measures of information and entropy". Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability 1960: 547–561. 
• A. O. Hero, O.Michael and J. Gorman (2002). “Alpha-divergences for Classification, Indexing and Retrieval” (PDF).
• F. Nielsen and S. Boltz (2010). “The Burbea-Rao and Bhattacharyya centroids”.
• O.A. Rosso EEG analysis using wavelet-based information tools. Journal of Neuroscience Methods 153 (2006) 163–182
• Rényi entropy as a measure of entanglement in quantum spin chain: F. Franchini, A. R. Its, V. E. Korepin, Journal of Physics A: Math. Theor. 41 (2008) 025302