WikiSort.ru - Не сортированное

Центр Шпикера — замечательная точка треугольника, которая определяется как центр масс периметра треугольника. Центр Шпикера треугольника является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику^[1][2].

Точка названа в честь германского геометра XIX века Теодора Шпикера^[en][3]. В Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга^[en] указана как X(10)^[4].

Свойства

• Центр Шпикера является инцентром серединного треугольника^[1]. То есть центр Шпикера ${\displaystyle \triangle ABC}$ является центром окружности, вписанной в серединный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ (в его дополнительный треугольник)^[5]. Эта окружность известна как окружность Шпикера^[en].

• Центр Шпикера является центром кливеров треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ ^[1]. То есть все три кливера треугольника пересекаются в одной точке — в центре Шпикера ${\displaystyle S}$ . (Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.)

• Центр Шпикера, инцентр (${\displaystyle I}$ ), центроид (${\displaystyle G}$ ) и точка Нагеля (${\displaystyle M}$ ) треугольника лежат на одной прямой — на второй прямой Эйлера (прямой Эйлера — Нагеля). Более того^[6],

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.}$

• Центр Шпикера лежит на гиперболе Киперта треугольника.

• Центр Шпикера ${\displaystyle \triangle ABC}$ является точкой пересечений прямых ${\displaystyle AX}$ , ${\displaystyle BY}$ и ${\displaystyle CZ}$ , где ${\displaystyle \triangle XBC}$ , ${\displaystyle \triangle YCA}$ и ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)}$ ^[7].
  • Это свойство выполняется не только для центра Шпикерар. Например, первая точка Наполеона ${\displaystyle N_{1}}$ , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых ${\displaystyle AX}$ , ${\displaystyle BY}$ и ${\displaystyle CZ}$ , где ${\displaystyle \triangle XBC}$ , ${\displaystyle \triangle YCA}$ и ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle 30^{\circ }}$ .

• Центр Шпикера является радикальным центром трёх вневписанных окружностей^[8].
• трилинейные координаты точки ${\displaystyle S}$ ^[4]: ${\displaystyle (bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))}$ .

• Барицентрические координаты центра Шпикера^[4]:

  ${\displaystyle (b+c,c+a,a+b)}$ .

Примечания

Литература

• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
• Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.
• Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.