WikiSort.ru - Не сортированное

Аналитическое определение

Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на ${\displaystyle p}$ -адический анализ и т. п.

Пусть ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$  — векторное пространство гладких отображений ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ . Пусть ${\displaystyle k}$  — неотрицательное целое число, ${\displaystyle p}$  — точка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Определим класс эквивалентности ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ в этом пространстве следующим образом: две функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ эквивалентны порядка ${\displaystyle k}$ , если они имеют равное значение в точке ${\displaystyle p}$ и все их частные производные до ${\displaystyle k}$ -го порядка включительно совпадают в этой точке.

Пространство ${\displaystyle k}$ -струй (струй ${\displaystyle k}$ -го порядка) на ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ в точке ${\displaystyle p}$  — это множество классов эквивалентности ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ; обозначается как ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ .

${\displaystyle k}$ -струя гладкого отображения ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ в точке ${\displaystyle p}$  — это класс эквивалентности в ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ , содержащий ${\displaystyle f}$ .

Алгебро-геометрическое определение

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$  — векторное пространство ростков гладких отображений ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ в точке ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ . Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$  — идеал отображений, равных нулю в точке ${\displaystyle p}$ (это максимальный идеал локального кольца ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ ), а ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$  — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке ${\displaystyle p}$ с точностью до ${\displaystyle k}$ -го порядка. Определим пространство струй в точке ${\displaystyle p}$ как

${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}.}$

Если ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  — гладкое отображение, то можно определить ${\displaystyle k}$ -струю ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle p}$ как элемент ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ , для которого

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f\,({\bmod {\,}}{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}).}$

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}[z]/(z^{k+1})}$ , поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку

Мы определили пространство ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ струй в точке ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ . Подпространство, содержащее те струи отображения ${\displaystyle f}$ , для которых ${\displaystyle f(p)=q}$ , обозначается

${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\in J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})\mid f(p)=q\}.}$