WikiSort.ru - Не сортированное

Соответствие Галуа (связь Галуа) — теоретико-порядковое соотношение между двумя математическими структурами, более слабое, чем изоморфизм, обобщающее связь из теории Галуа между подполями расширения и упорядоченной по включению системой подгрупп соответствующей ему группы Галуа. Понятие может быть распространено на любые структуры, наделённые отношением предпорядка^[⇨].

Понятие введено Гарретом Биркгофом в 1940 году, им же и Ойстином Оре в 1940-е годы установлены основные свойства^[1]. Изначальное определение — антимонотонное^[⇨], впоследствии в как общей алгебре, так и в приложениях стали чаще использовать альтернативное и двойственное ему в теоретико-категорном смысле монотонное определение^[⇨].

Замыкание Галуа — операция, являющаяся замыканием, образованная композицией компонент соответствия Галуа; в антимонотонном случае обе возможные композиции функций соответствия образуют замыкания, в монотонном — только одна из таких композиций.

Антимонотонное соответствие Галуа

Антимонотонное определение изначально дано Биркгофом и напрямую соответствует связи в теории Галуа. Согласно этому определению, соответствием Галуа называется всякая пара функций ${\displaystyle \varphi :A\to B}$ и ${\displaystyle \psi :B\to A}$ между частично-упорядоченными множествами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , удовлетворяющая следующими соотношениям:

• если ${\displaystyle a\leqslant a'}$ , то ${\displaystyle \varphi (a)\geqslant \varphi (a')}$ (антимонотонность ${\displaystyle \varphi }$ ),
• если ${\displaystyle b\leqslant b'}$ , то ${\displaystyle \psi (b)\geqslant \psi (b')}$ (антимонотонность ${\displaystyle \psi }$ ),
• ${\displaystyle \psi (\varphi (a))\geqslant a}$ (экстенсивность ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ ),
• ${\displaystyle \varphi (\psi (b))\geqslant b}$ (экстенсивность ${\displaystyle \varphi \circ \psi }$ ).

Композиции ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ и ${\displaystyle \varphi \circ \psi }$ оказываются монотонными, а также обладают свойством идемпотентности (${\displaystyle (\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi }$ и ${\displaystyle (\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi }$ ), таким образом, являются замыканиями на ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle A}$ соответственно.

Определение антимонотонного соответствия Галуа для антимонотонных функций ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ следующему условию (Юрген Шмидт^[de], 1953^[2][3]): ${\displaystyle b\leqslant \varphi (a)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\leqslant \psi (b)}$ .

По аналогии с полярами в аналитической геометрии, связанные антимонотонным соответствием Галуа функции называют полярностями^[4].

Монотонное соответствие Галуа

Монотонные функции ${\displaystyle \gamma :A\to B}$ и ${\displaystyle \delta :B\to A}$ находятся в монотонном соответствии Галуа, если выполнены следующие условия:

• ${\displaystyle \gamma (\delta (b))\geqslant b}$ ,
• ${\displaystyle \delta (\gamma (a))\leqslant a}$ .

Эквивалентным данному определению является выполнение условия, двойственного условию Шмидта для антимонотонного варианта: ${\displaystyle b\leqslant \gamma (a)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \delta (b)\leqslant a}$ , часто оно принимается за начальное определение^[5].

В случае монотонного соответствия Галуа также говорят о сопряжённости функций, так как в теории категорий такое соответствие даёт сопряжённые функторы^[⇨]. В отличие от антимонотонной формы, где компоненты соответствия (полярности) симметричны, в монотонном соответствии различают верхнюю сопряжённую функцию — значения которой участвуют в условии справа в отношениях порядка (в данном определении — ${\displaystyle \gamma }$ , и нижнюю сопряжённую — значения которой участвуют в отношениях порядка из условия слева (${\displaystyle \delta }$ ). Иногда говорят нижней сопряжённой функции как косопряжённой (в этом случае верхняя называется просто «сопряжённой»).

Оператором замыкания в монотонном соответствии Галуа является композиция ${\displaystyle \delta \circ \gamma }$ , при этом композиция ${\displaystyle \gamma \circ \delta }$ замыканием не является, так для неё вместо экстенсивности выполнено обратное условие (функцию с таким набором свойств иногда называют ядерным оператором^[en]*[6] или козамыканием).

Сопряжённые функторы

Всякое частично-упорядоченное множество ${\displaystyle (A,\leqslant )}$ может быть рассмотрено как категория, в которой для каждой пары объектов ${\displaystyle a,a'\in A}$ множество морфизмов ${\displaystyle \mathrm {Hom} (a,a')}$ состоит из единственного морфизма, если ${\displaystyle a\leqslant a'}$ и пусто в противном случае. Для категорий, порождённых таким образом из частично-упорядоченных множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , отображения ${\displaystyle \gamma :A\to B}$ и ${\displaystyle \delta :B\to A}$ , находящиеся в монотонном соответствии Галуа, являются сопряжёнными функторами.

Сопряжёнными функторами также являются находящиеся в антимонотонном соответствии Галуа отображения ${\displaystyle \varphi :A\to B^{\mathrm {op} }}$ и ${\displaystyle \psi :B\to A^{\mathrm {op} }}$ (${\displaystyle A^{\mathrm {op} }}$  — категория, двойственная ${\displaystyle A}$ , то есть, полученная обращением морфизмов)^[7].

Свойства

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 октября 2014 года.

Примеры

Полные решётки

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 октября 2014 года.

Приложения

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 октября 2014 года.

Примечания

Литература

• Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 567 с.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott. Galois Connections // Continuous Lattices and Domains. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — С. 22—35. — 629 с. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 93).
• Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1981. — 456 с.
• Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Øystein Ore. Galois Connexions (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 55. — P. 493—513. — ISSN 0002-9947. — DOI:10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7.