WikiSort.ru - Не сортированное

Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. За счёт того, что является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивает практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальной^[1].

С точки зрения теории категорий определяется как симплициальный объект^[en] из категории множеств, или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.

Определения и структура

Симплициальное множество ${\displaystyle X}$  — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств: ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$ .

Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами ${\displaystyle \delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]}$ и ${\displaystyle \sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]}$ (${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ), определёнными как^[2]:

${\displaystyle \delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}}$ ,

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}}$ ,

то симплициальное множество может быть сконструировано как система ${\displaystyle n}$ -х слоёв ${\displaystyle X_{n}}$ , связанных соответствующими (двойственными к ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \sigma }$ ) отображениями ${\displaystyle d_{i}^{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ и ${\displaystyle s_{i}^{n}:X_{n}\to X_{n+1}}$ , удовлетворяющих соотношениям:

${\displaystyle d_{i}^{n}d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}d_{i}^{n+1}}$ , если ${\displaystyle i<j}$ ,

${\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1}}$ , если ${\displaystyle i\leq j}$ ,

${\displaystyle d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1}d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}}$ .

Точки слоя ${\displaystyle X_{n}}$ называются ${\displaystyle n}$ -мерными симплексами, притом точки слоя ${\displaystyle X_{0}}$  — вершинами, а слоя ${\displaystyle X_{1}}$  — рёбрами. Морфизмы ${\displaystyle d_{i}^{n}}$ называются операторами граней, а морфизмы ${\displaystyle s_{j}^{n}}$  — операторами вырождения.

Симплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами ${\displaystyle f:X\to X'}$ , симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n}'}$ , притом выполнено:

${\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n}}$ (${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ),

${\displaystyle s_{i}^{n}f_{n}=f_{n+1}s_{i}^{n}}$ (${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ).

Симплициальное множество ${\displaystyle X}$ называется симплициальным подмножеством ${\displaystyle X'}$ , если все слои ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n}'}$ симплициального отображения ${\displaystyle f:X\to X'}$ инъективны; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в ${\displaystyle X}$ являются сужениями соответствующих операторов для ${\displaystyle X'}$ .

Симплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть, ${\displaystyle X/\sigma }$  — набор слоёв ${\displaystyle X_{n}/\sigma }$ , притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества ${\displaystyle X}$ .

Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}}$ ^[3].

Мотивация

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 22 марта 2017 года.

Примеры

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 22 марта 2017 года.

Свойства

Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle X'}$ определены прямое произведение ${\displaystyle X\times X'}$ и прямая сумма (раздельное объединение) ${\displaystyle X\oplus X'}$ , притом для всех слоёв:

${\displaystyle (X\times X')_{n}=X_{n}\times X'_{n}}$ ,

${\displaystyle (X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}}$ .

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Геометрическая реализация

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 22 марта 2017 года.

Косимплициальное множество

Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств: ${\displaystyle \Delta \to \mathbf {Set} }$ . Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta }}$ .

Примечания

Литература

• Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Перевод с английского М. М. Постникова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
• Симплициальное множество — статья из Математической энциклопедии. Малыгин С. Н., Постников М. М.
• Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.