WikiSort.ru - Не сортированное

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование ${\displaystyle \ H_{u}}$ векторного пространства ${\displaystyle \ V}$ , которое описывает его отображение относительно гиперплоскости, которая проходит через начало координат.

Было предложено в 1958 году американским математиком Элстоном Скоттом Хаусхолдером.

Широко применяется в линейной алгебре для QR разложения матрицы.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором ${\displaystyle \ u}$ , который ортогонален ей, а ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$  — скалярное произведение в ${\displaystyle \ V}$ , тогда

${\displaystyle \ H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

${\displaystyle \ H=I-2uu^{\dagger }.}$

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства

• Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: ${\displaystyle \ H=H^{\dagger }.}$
• Матрица Хаусхолдера является унитарной: ${\displaystyle \ H^{\dagger }H=I.}$
• Значит она является инволюцией: ${\displaystyle \ H^{2}=I}$ .
• Преобразование ${\displaystyle \ H_{u}(x)}$ отображает точку ${\displaystyle \ x}$ в точку ${\displaystyle \ x-2\langle u,x\rangle u.}$
• Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение равное (-1), которое отвечает собственному вектору ${\displaystyle \ u,}$ , все другие собственные значения равны (+1).
• Определитель матрицы Хаусхолдера равен (-1).

Литература

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947

Ссылки

• http://www.tdoc.ru/c/programming/programming-theory/matrix-vectors-values-page8.html
• https://web.archive.org/web/20070609042513/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HouseholderMod.html

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.