WikiSort.ru - Не сортированное

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975^[1][2], а затем переоткрыта и обобщена Громовым в 1981^[3].

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях ${\displaystyle X\hookrightarrow Z}$ и ${\displaystyle Y\hookrightarrow Z}$ в общее метрическое пространство ${\displaystyle Z}$ . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам ${\displaystyle Z}$ .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ в дизъюнктном объединении ${\displaystyle X\sqcup Y}$ , снабжённым метрикой ${\displaystyle \rho }$ такой, что сужение ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle X}$ совпадает с метрикой на ${\displaystyle X}$ и сужение ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle Y}$ совпадает с метрикой на ${\displaystyle Y}$ . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам ${\displaystyle \rho }$ .

Связанные определения

• Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств ${\displaystyle X_{n}}$ сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства ${\displaystyle X_{\infty }}$ , если ${\displaystyle d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

Свойства

• Метрическое пространство ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ является линейно связным, полным, сепарабельным. Недавно было показано, что оно также является геодезическим^[4], т.е. любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками. Кроме того, пространство Громова-Хаусдорфа глобально неоднородно, т.е. его группа изометрий тривиальна^[5], однако локально имеется много нетривиальных изометрий^[6].
• Любое универсально вполне ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство ${\displaystyle X}$ метрических пространств называется универсально вполне ограниченным если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует целое положительное число ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ токое, что любое пространство из ${\displaystyle X}$ допускает ${\displaystyle \varepsilon }$ -сеть из не более чем ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ точек.
  • Из этого свойства в частности следует теорема Громова о компактности аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

• В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
• Если разрешить метрике принимать значение ${\displaystyle \infty }$ , то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания

Литература

• M. Gromov. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
• M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.