WikiSort.ru - Не сортированное

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$ .

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой ${\displaystyle z=x+iy}$ , то это выражение можно представить в виде

${\displaystyle z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}}$ ,

где ${\displaystyle {\bar {z}}}$  — комплексно сопряжённое число для ${\displaystyle z}$ . Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке ${\displaystyle O=(x_{0},y_{0})}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ задаётся соотношением

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)}$ .

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат задаётся соотношением

${\displaystyle (\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )}$ .

Инверсия относительно конического сечения

Инверсию можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина ${\displaystyle R}$ будет (переменным) расстоянием от центра ${\displaystyle O}$ соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой ${\displaystyle OP}$ .

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка ${\displaystyle P}$ между асимптотами, возможен случай, когда прямая ${\displaystyle OP}$ не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления ${\displaystyle R}$ берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка ${\displaystyle P}$ не лежит на асимптоте), а соответствующая величина ${\displaystyle R^{2}}$ берётся со знаком минус, то есть луч ${\displaystyle OP'}$ направляется в сторону, противоположную лучу ${\displaystyle OP}$ .

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ как середина хорды, высекаемой полярой точки ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ . Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ , для полноты определения приходится применять это, частичное, определение "в обратную сторону" (${\displaystyle P'}$ — это такая точка, что ${\displaystyle P}$ является серединой хорды, высекаемой полярой ${\displaystyle P'}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ), что не всегда удобно.