WikiSort.ru - Не сортированное

Случай известного среднего

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$  — независимая выборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \mu }$  — известное среднее. Определим произвольное ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ и построим ${\displaystyle \alpha }$ — доверительный интервал для неизвестной дисперсии ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ .

Утверждение. Случайная величина

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

имеет распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ . Пусть ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$  — ${\displaystyle \alpha }$ -квантиль этого распределения. Тогда имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}\right)=\alpha }$ .

После подстановки выражения для ${\displaystyle H}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}}}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=\alpha }$ .

Случай неизвестного среднего

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$  — независимая выборка из нормального распределения, где ${\displaystyle \mu }$ , ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ .

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

${\displaystyle H={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}}$ ,

где ${\displaystyle S^{2}}$  — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(n-1)}$ . Тогда имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n-1}^{2}\right)=\alpha }$ .

После подстановки выражения для ${\displaystyle H}$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n-1}^{2}}}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n-1}^{2}}}\right)=\alpha }$ .

Ссылки

• http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htm (англ.)

Это заготовка статьи по статистике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 19 июня 2018 года.