Число Маркова — это положительные числа x, y или z, являющиеся частями решения диофантова уравнения Маркова
которое изучал Андрей Марков[1][2].
Первые несколько чисел Маркова
появляющиеся как координаты троек Маркова
Существует бесконечно много чисел Маркова и троек Маркова.
Существует простой способ получения новой тройки Маркова из старой тройки (x, y, z). Сначала нормализуем тройку x,y,z, переставив числа так, чтобы x ≤ y ≤ z. Далее, если (x, y, z) является тройкой Маркова, то совершив прыжок Виета, получим (x, y, 3xy − z). Если применить эту операцию второй раз, получим исходную тройку. Если связать каждую нормализованную тройку Маркова с 1, 2 или 3 нормализованными тройками, можно получить граф (дерево), имеющий в корне тройку (1,1,1), как на рисунке. Этот граф связен. Другими словами, любая тройка Маркова может быть получена из (1,1,1) в результате последовательности описанной выше операции[3]. Если мы начнём, скажем, с тройки (1, 5, 13), мы получим три соседние тройки — (5, 13, 194), (1, 13, 34) и (1, 2, 5) дерева Маркова, если в качестве z подставить 1, 5 и 13 соответственно. Если начать с (1, 1, 2) и перед каждой операцией менять местами y и z, получим тройки с числами Фибоначчи. Если же начать с той же тройки и менять местами x и z, получим числа Пелля.
Все числа Маркова, полученные первым способом, являются числами Фибоначчи с нечётными индексами (A001519), а полученные вторым способом — числами Пелля с нечётными индексами (или такими числами n, что 2n2 − 1 является квадратом, A001653). Таким образом, имеется бесконечно много троек Маркова вида
где Fx является x-м числом Фибоначчи. Таким же образом, существует бесконечно много троек Маркова вида
где Px — x-ое число Пелля[4]
Кроме двух наименьших особенных троек (1,1,1) и (1,1,2) все тройки Маркова состоят из трёх различных целых чисел[5].
Гипотеза единственности утверждает, что для заданного числа Маркова c существует в точности одно нормализованное решение, в котором c является наибольшим элементом — доказательства этого факта объявлялись, но ни одно из них не признано удовлетворительным[6].
Нечётные числа Маркова сравнимы с 1 по модулю 4, чётные же числа сравнимы с 2 по модулю 32[7].
В статье 1982 года Дон Цагир высказал гипотезу, что n-ое число Маркова асимптотически задаётся выражением
Более того, он указал на то, что , приближение исходного диофантова уравнения, эквивалентно с f(t) = arch(3t/2)[8]. Гипотезу доказали[9] Грег Макшейн и Игорь Ривин в 1995, используя технику гиперболической геометрии[10].
n-ое число Лагранжа[en]* можно вычислить из n-го числа Маркова по формуле
Числа Маркова являются суммами (неуникальных) пар квадратов.
Марков[1][11] показал, что если
является неопределённой бинарной квадратичной формой с вещественными коэффициентами и дискриминант , то существуют целые числа x, y, для которых f принимает ненулевое значение, по абсолютной величине не превосходящее
если только f не имеет вид формы Маркова [12] — умноженную на константу форму
где (p, q, r) является тройкой Маркова и
Если X и Y принадлежат SL2(C), то
так что в случае Tr(X⋅Y⋅X−1 ⋅ Y−1) = −2
В частности, если X и Y имеют целочисленные составляющие, то Tr(X)/3, Tr(Y)/3 и Tr(X⋅Y)/3 является тройкой Маркова. Если X⋅Y⋅Z = Е, то Tr(X⋅Y) = Tr(Z), более симметричны, если X, Y и Z входят в SL2(Z) с X⋅Y⋅Z = Е и коммутатор двух из них имеет след −2, тогда их следы/3 являются тройкой Маркова[13].
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .