WikiSort.ru - Не сортированное

Уравнение орбиты в астродинамике определяет траекторию обращающегося тела ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ вокруг центрального тела ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ относительно ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ без выражения положения на орбите в виде функции времени. В рамках стандартных предположений тело, движущееся по орбите под влиянием силы, направленной к центральному телу и обратно пропорциональной квадрату расстояния до центрального тела, движется по орбите в виде конического сечения (например, круговая орбита, эллиптическая орбита, параболическая траектория, гиперболическая траектория или радиальная траектория), причём центральное тело располагается в фокусе орбиты.

Если коническое сечение пересекает центральное тело, то настоящая траектория может быть только частью над поверхностью, но всё же для этой части траектории будут применимы уравнение орбиты и другие связанные с ним формулы, в случае свободного падения.

Центральная сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния

Рассмотрим систему двух тел, состоящую из центрального тела массы M и обращающегося вокруг него тела гораздо меньшей массы m; пусть сила взаимодействия между двумя телами является центральной, обратно пропорциональной квадрату расстояния (как сила тяготения). В полярных координатах уравнение орбиты можно записать как^[1]

${\displaystyle r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\gamma }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }},}$

где ${\displaystyle r}$ показывает расстояние между двумя компонентами, ${\displaystyle \theta }$ — угол, который ${\displaystyle \mathbf {r} }$ составляет с направлением на перицентр (также называется истинной аномалией). Параметр ${\displaystyle \ell }$ показывает угловой момент обращающегося тела и равен ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }}}$ . Величина ${\displaystyle \gamma }$ является постоянной, при которой ${\displaystyle \gamma /r^{2}}$ равно ускорению тела с меньшей массой (в случае гравитации ${\displaystyle \gamma }$ является гравитационным параметром ${\displaystyle GM}$ ). Для заданной орбиты чем больше ${\displaystyle \gamma }$ , тем быстрее двигается по орбите тело; вдвое быстрее, если сила притяжения в четыре раза больше. Параметр ${\displaystyle e}$ показывает эксцентриситет орбиты и определяется выражением^[1]

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\gamma ^{2}}}}},}$

где ${\displaystyle E}$ показывает энергию орбиты.

Указанное выше соотношение между ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \theta }$ описывает коническое сечение.^[1] Значение ${\displaystyle e}$ показывает, к какому типу конического сечения относится орбита. При ${\displaystyle e<1}$ орбита эллиптическая; при ${\displaystyle e=1}$ орбита параболическая; при ${\displaystyle e>1}$ траектория является гиперболической.

Минимальное значение r в уравнении равно

${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\gamma }}{{1} \over {1+e}}.}$

Если ${\displaystyle e<1}$ , максимальное значение

${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\gamma }}{{1} \over {1-e}}.}$

Если максимум меньше радиуса центрального тела, то коническое сечение орбиты представляет эллипс, полностью расположенный под поверхностью центрального тела. Если максимум больше радиуса центрального тела, но минимум меньше радиуса, то возможна часть траектории:

• если энергия неотрицательна (параболическая или гиперболическая траектория), то движение происходит либо от тела, либо к нему;
• если энергия отрицательна, то движение в сторону от центрального тела может продолжаться дo

${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\gamma }}{{1} \over {1-e}},}$

затем тело возвращается обратно.

Если ${\displaystyle r}$ становится таким, что обращающееся тело входит в атмосферу центрального тела, то обычные предположения перестают работать.

Траектории с низкой энергией

Если центральное тело является Землёй и энергия немногим больше потенциальной энергии на поверхности Земли, то орбита является эллиптической с эксцентриситетом около 1 и одна из апсид эллипса лежит вблизи центра Земли, другая апсида лежит немного выше поверхности Земли. Только малая часть эллипса доступна в виде орбиты.

Если горизонтальная скорость равна ${\displaystyle v\,\!}$ , то перицентрическое расстояние ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$ . Энергия на поверхности Земли соответствует эллиптической орбите с ${\displaystyle a=R/2\,\!}$ (где ${\displaystyle R\,\!}$ показывает радиус Земли), которая не может существовать в реальности, поскольку эллипс будет полностью лежать под поверхностью Земли. С увеличением a энергия возрастает с темпом ${\displaystyle 2g\,\!}$ . Наибольшая высота над поверхностью центрального тела равна большой оси эллипса минус ${\displaystyle R\,\!}$ , минус часть за центром Земли, то есть равна удвоенному значению ${\displaystyle a\,\!}$ минус перицентрическое расстояние. В верхней точке потенциальная энергия равна ${\displaystyle g}$ , умноженному на высоту, кинетическая энергия равна ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$ .

Часть эллипса, лежащую над поверхностью центрального тела, можно приблизить участком параболы, получающимся в предположении постоянного тяготения на данном участке. Такое приближение следует отличать от параболической траектории в смысле астродинамики, на которой скорость равна скорости убегания.

Категории орбит

Рассмотрим орбиты вблизи поверхности Земли, почти горизонтальные в точке старта. При увеличении скорости в точке старта тип орбиты будет меняться следующим образом:

• часть эллипса, центр Земли является дальним от точки старта фокусом (движение брошенного камня, суборбитальный космический полёт, запуск баллистической ракеты);
• окружность на малой высоте над поверхностью Земли;
• эллипс, центр Земли находится в ближнем к точке старта фокусе;
• парабола;
• гипербола.

Отметим, что в указанной выше последовательности ${\displaystyle h}$ , ${\displaystyle \epsilon }$ и ${\displaystyle a}$ монотонно возрастают, но ${\displaystyle e}$ сначала уменьшается от 1 до 0, затем возрастает от 0 до бесконечности. Когда центр Земли из далёкого фокуса становится близким, имеем

${\displaystyle e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|.}$

Обобщение классификации на орбиты, являющиеся горизонтальными на других высотах, и орбиты, которые можно экстраполировать до горизонтальных под поверхностью Земли, даст классификацию всех орбит за исключением радиальных траекторий, для которых уравнение орбиты нельзя применять.

Примечания