WikiSort.ru - Не сортированное

Круговая орбита — орбита, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центральной точки, создаваемая обращающимся вокруг неподвижной оси телом. Может рассматриваться как частный случай эллиптической орбиты при нулевом эксцентриситете. В Солнечной системе почти круговые орбиты у Венеры (эксцентриситет 0,0068) и Земли (эксцентриситет 0,0167).

Далее будет рассматриваться понятие круговой орбиты в астродинамике и небесной механике. Центростремительной силой является гравитационная сила. Указанная выше неподвижная ось проходит через притягивающий центр перпендикулярно плоскости орбиты.

Для данной орбиты не только расстояние от центра, но и линейная скорость, угловая скорость, потенциальная и кинетическая энергии являются постоянными. Перицентра и апоцентра нет. У круговой орбиты нет аналога среди радиальных траекторий.

Ускорение на круговой орбите

Трансверсальное ускорение (перпендикулярное скорости) изменяет направление вектора скорости. Если оно постоянно по величине и меняется вместе с направлением скорости, то мы имеем круговое движение. Выполняется следующее равенство:

a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r},

где

$v\,$ — орбитальная скорость обращающегося тела,
$r\,$ — радиус круговой орбиты,
$\omega \$ — угловая скорость, измеряемая в радианах в единицу времени.

Если единицей измерения $\mathbf {a}$ выбрать метры, делённые на секунду в квадрате, то единицей измерения $v\,$ будут метры в секунду, $r\,$ — метры, $\omega \$ — радианы в секунду

Скорость

Относительная скорость является постоянной:

v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu  \over {r}}},

где

G — гравитационная постоянная,
M — сумма масс обоих тел (M₁+M₂), хотя на практике, если масса одного из компонентов значительно превышает массу второго, то массой второго тела пренебрегают, что несильно сказывается на результате,
$\scriptstyle \mu =GM\,$ — гравитационный параметр.

Уравнение движения

Уравнение орбиты в полярных координатах, показывающее в общем случае связь r и θ, упрощается до вида

r={{h^{2}} \over {\mu }},

где

$h=rv$ — угловой момент обращающегося тела, приходящийся на единицу массы.

$\mu =rv^{2}$ .

Угловая скорость и орбитальный период

\omega ^{2}r^{3}=\mu ,

следовательно орбитальный период ( $T\,\!$ ) можно вычислить как

T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}.

Сравним две пропорциональные величины, время свободного падения (время падения на точечную массу из положения в состоянии покоя)

T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}

(17.7 % периода обращения по круговой орбите)

и время падения на точечную массу по радиальной параболической траектории

T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}

(7.5 % периода обращения по круговой орбите).

Тот факт, что формулы отличаются только константой, можно вывести из анализа размерностей.

Энергия

Орбитальная энергия ( $\epsilon \,$ ), рассчитанная на единицу массы, отрицательна,

{v^{2} \over {2}}=-\epsilon ,

-{\mu  \over {r}}=2\epsilon .

Следовательно, теорему о вириале можно применить даже без усреднения по времени:

кинетическая энергия системы равна по модулю полной энергии,
потенциальная энергия равна удвоенному значению полной энергии.

Скорость убегания равна круговой скорости, умноженной на √2: в таком случае сумма кинетической и потенциальной энергии обратится в ноль.

Орбитальная скорость в общей теории относительности

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты радиуса $r$ определяется следующим выражением:

v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}},

где $\scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ — радиус Шварцшильда центрального тела.

Вывод уравнения

Для удобства будем использовать единицы измерения, в которых $\scriptstyle c=G=1$ .

4-вектор скорости для тела на круговой орбите задаётся выражением

u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})

( $\scriptstyle r$ постоянно на круговой орбите, координаты можно выбрать таким образом, что $\scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}$ ). Точка над символом переменной обозначает производную по собственному времени $\scriptstyle \tau$ .

Для массивной частицы компоненты 4-вектора удовлетворяют уравнению

\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1.

Используем уравнение геодезической линии:

{\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0.

Единственное нетривиальное уравнение при $\scriptstyle \mu =r$ :

{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0.

Отсюда получаем

{\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}.

Подставляем данное выражение в уравнение для массивной частицы:

\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1.

Следовательно

{\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}.

Предположим, что наблюдатель находится на радиуса $\scriptstyle r$ и не движется относительно центрального тела, то есть его 4-вектор скорости пропорционален вектору $\partial _{t}$ .

v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)

Произведение 4-векторов скорости наблюдателя и обращающегося тела приводит к выражению

\gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}.

Отсюда получаем выражение для скорости:

v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}

или, в единицах СИ,

v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}.

Примечания

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии