WikiSort.ru - Не сортированное

Те́нзор напряже́ний (иногда тензор напряжений Коши) — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. В декартовой системе координат эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные составляющие векторов напряжений на трёх взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку среды, а в остальных позициях — касательные компоненты векторов напряжений на этих площадках.

Компоненты тензора напряжений ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ в декартовой системе координат ${\displaystyle Ox_{i}}$ (то есть ${\displaystyle Oxyz}$ ) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади ${\displaystyle dS_{i}}$ . На каждой грани ${\displaystyle dS_{i}}$ параллелепипеда действуют поверхностные силы ${\displaystyle dF_{i}}$ . Если обозначить проекции этих сил на оси ${\displaystyle Ox_{j}}$ как ${\displaystyle dF_{ij}}$ , то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {dF_{ij}}{dS_{i}}}}$

По индексу ${\displaystyle i}$ здесь суммирования нет. Компоненты ${\displaystyle \sigma _{11}}$ , ${\displaystyle \sigma _{22}}$ ,${\displaystyle \sigma _{33}}$ , обозначаемые также как ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ , ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ,${\displaystyle \sigma _{zz}}$  — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы ${\displaystyle dF_{i}}$ на нормаль к площади рассматриваемой грани ${\displaystyle dS_{i}}$ :

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {dF_{11}}{dS_{1}}}}$ и т. д.

Компоненты ${\displaystyle \sigma _{12}}$ , ${\displaystyle \sigma _{23}}$ ,${\displaystyle \sigma _{31}}$ , обозначаемые также как ${\displaystyle \tau _{xy}}$ , ${\displaystyle \tau _{yz}}$ ,${\displaystyle \tau _{zx}}$  — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы ${\displaystyle dF_{i}}$ на касательные направления к площади рассматриваемой грани ${\displaystyle dS_{i}}$ :

${\displaystyle \sigma _{12}={\frac {dF_{12}}{dS_{1}}}}$ и т. д.

При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

Тензор напряжений в релятивистской физике

С точки зрения теории относительности, компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса.

Тензор напряжений в классической электродинамике

В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля (максвелловский тензор напряжений^[1], тензор натяжений Максвелла^[2]) в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

${\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}W,}$

где ${\displaystyle W}$  — плотность энергии электромагнитного поля.

См. также

• Тензор энергии-импульса
• Теория упругости
• Тензор деформации
• Тензор упругости
• Закон Гука

Примечания

Литература

• Седов Л. И.  Механика сплошной среды. Том 1.  М.: Наука, 1970.  492 c.
• Трусделл К.  Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.  М.: Наука, 1975.  592 с.
• Димитриенко Ю. И.  Нелинейная механика сплошной среды.  М.: Физматлит, 2010.