Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности .
Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем расслоений на сферы[en].
Расслоение на окружности поверхностей является важным примером 3-многообразий[en]. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.
Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с гомологически эквивалентным[en] нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что
Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция
имеем гомоморфизм
где является обратным образом[en]. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию[en] связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.
Поскольку и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком , имеет класс Чженя .
Классы изоморфности[en] главных расслоений многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами[en] отображений , где называется классифицирующим пространством для U(1)[en]. Заметим, что является бесконечномерным комплексным проективным пространством[en], и что оно является примером пространства Эйленберга-Маклейна[en] . Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий многообразия M, поскольку
Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера[en]. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного линейного расслоения[en] (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна , комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)
Расслоение на окружности является главным расслоением тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений . Это следует из расширения групп , где .
Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня , расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством , в то время как классифицирует линейные расслоения на снопы[en].
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .