WikiSort.ru - Не сортированное

Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс^[1] — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

${\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt}$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.^[2]

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots }$ .

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)}$ при ${\displaystyle h\to 0}$ ,

где ${\displaystyle o(h)}$ обозначает «о малое».

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. ${\displaystyle X_{0}=0}$ .
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. ${\displaystyle P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)}$ при ${\displaystyle h\searrow 0}$ .

Информационные свойства

• Пусть ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}}$  — моменты скачков процесса Пуассона. ${\displaystyle T=\tau _{j}-\tau _{j-1}}$ .

Зависит ли ${\displaystyle T}$ от предыдущей части траектории?
${\displaystyle \mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})}$  — ?

Пусть ${\displaystyle u(t)=\mathbb {P} (T>t)}$ .

${\displaystyle u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}}$
${\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s)}$
${\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}}$ .
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ на временно́й оси.

${\displaystyle X(b)-X(a)=n}$  — число скачков на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ .
Условное распределение моментов скачков ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n}$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины ${\displaystyle n}$ из ${\displaystyle R[a,b]}$ .

Плотность этого распределения ${\displaystyle f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (a\leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)}$

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

Литература

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Примечания

См. также

• Поток однородных событий
• Теория массового обслуживания